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1971 AMC 12 Problema 35

Intenta el Problema 35 del 1971 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1971 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

35.

Cada círculo de una sucesión infinita de radios decrecientes es tangente exteriormente al círculo siguiente y a ambos lados de un ángulo recto dado. La razón del área del primer círculo a la suma de las áreas de todos los demás círculos de la sucesión es:

Each circle in an infinite sequence with decreasing radii is tangent externally to the one following it and to both sides of a given right angle. The ratio of the area of the first circle to the sum of the areas of all the other circles in the sequence is:

(4+32):4(4+3\sqrt2):4

92:29\sqrt2:2

(16+122):1(16+12\sqrt2):1

(2+22):1(2+2\sqrt2):1

(3+22):1(3+2\sqrt2):1

Respuesta: C
Conceptos:circunferencias tangentessucesión geométricarazón de áreasradical
Nivel de dificultad: 2380
Pista pequeña:

Los centros están en la bisectriz del ángulo; halla la razón entre radios consecutivos

The centers lie on the angle bisector; find the ratio of consecutive radii

Pista grande:

La razón de radios es 3−223-2\sqrt2, así que la razón de áreas es su cuadrado

The radius ratio is 3−223-2\sqrt2, so the area ratio is its square

Solución:

Si los radios consecutivos son r>r′,r\gt r', sus centros están en la bisectriz del ángulo a distancias r2r\sqrt2 y r′2r'\sqrt2 del vértice. La tangencia exterior da 2(r−r′)=r+r′, \sqrt2(r-r')=r+r', por lo que r′r=3−22.\frac{r'}{r}=3-2\sqrt2. La razón de áreas consecutivas es q=(3−22)2. q=(3-2\sqrt2)^2. Por tanto, el área del primer círculo dividida entre la suma de todas las áreas posteriores es 1−qq=1q−1=(3+22)2−1=16+122. \begin{aligned} \frac{1-q}{q} &=\frac1q-1\\ &=(3+2\sqrt2)^2-1\\ &=16+12\sqrt2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If consecutive radii are r>r′,r\gt r', their centers lie on the angle bisector at distances r2r\sqrt2 and r′2r'\sqrt2 from the vertex. External tangency gives 2(r−r′)=r+r′, \sqrt2(r-r')=r+r', so r′r=3−22.\frac{r'}{r}=3-2\sqrt2. The ratio of successive areas is q=(3−22)2. q=(3-2\sqrt2)^2. Therefore the first area divided by the sum of all later areas is 1−qq=1q−1=(3+22)2−1=16+122. \begin{aligned} \frac{1-q}{q} &=\frac1q-1\\ &=(3+2\sqrt2)^2-1\\ &=16+12\sqrt2. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

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