Question

El triángulo equilátero $ABP$ , cuyo lado $AB$ mide $2$ pulgadas, se coloca dentro del cuadrado $AXYZ$ , de lado $4$ pulgadas, de modo que $B$ esté sobre el lado $AX.$ El triángulo gira en sentido horario primero alrededor de $B,$ luego de $P,$ y así sucesivamente a lo largo de los lados del cuadrado hasta que $P,$ $A,$ y $B$ regresen a sus posiciones originales. La longitud en pulgadas del camino recorrido por el vértice $P$ es:

Equilateral triangle $ABP$ with side $AB$ of length $2$ inches is placed inside square $AXYZ$ with side of length $4$ inches so that $B$ is on side $AX.$ The triangle is rotated clockwise about $B,$ then $P,$ and so on along the sides of the square until $P,$ $A,$ and $B$ all return to their original positions. The length of the path in inches traversed by vertex $P$ is equal to:

$\dfrac{20\pi}{3}$

$\dfrac{32\pi}{3}$

$12\pi$

$\dfrac{40\pi}{3}$

$15\pi$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo equilátero transformación arco simulación de procesos

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Sigue la orientación después de un circuito del cuadrado de ocho pivotes

Track the orientation after one eight-pivot circuit of the square

Pista grande:

Se necesitan tres circuitos; clasifica los pivotes según si $P$ queda fijo o recorre un arco de $120^\circ$ o de $30^\circ$

Three circuits are needed; classify the pivots according to whether $P$ is fixed or moves through a $120^\circ$ or $30^\circ$ arc

Solución:

Un circuito del cuadrado usa $8$ pivotes y cambia la orientación del triángulo en $\frac{2}{3}$ de una vuelta completa. Por lo tanto, se requieren $3$ circuitos, o $24$ pivotes, para devolver todo el triángulo a su posición inicial. En $8$ de esos pivotes la rotación es alrededor de $P,$ de modo que $P$ no se mueve. En los otros $16,$ ocho arcos abarcan $120^\circ$ y ocho abarcan $30^\circ,$ todos con radio $2.$ Por consiguiente, la longitud total del camino es $\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

One circuit of the square uses $8$ pivots and changes the triangle’s orientation by $\frac{2}{3}$ of a full turn. Therefore $3$ circuits, or $24$ pivots, are required to restore the entire triangle. In $8$ of those pivots the rotation is about $P,$ so $P$ does not move. In the other $16,$ eight arcs subtend $120^\circ$ and eight subtend $30^\circ,$ all with radius $2.$ Hence the total path length is $\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

1972 AMC 12 Problema 35

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años