Question

Un empleado que se jubila recibe una pensión anual proporcional a la raíz cuadrada de su número de años de servicio. Si hubiera trabajado $a$ años más, su pensión habría sido $p$ dólares mayor; si hubiera trabajado $b$ años más ( $b\ne a$ ), su pensión habría sido $q$ dólares mayor que la pensión anual original. Halla su pensión anual en función de $a,$ $b,$ $p$ y $q.$

A retiring employee receives an annual pension proportional to the square root of the number of years of his service. Had he served $a$ years more, his pension would have been $p$ dollars greater, whereas, had he served $b$ years more ( $b\ne a$ ), his pension would have been $q$ dollars greater than the original annual pension. Find his annual pension in terms of $a,$ $b,$ $p,$ and $q.$

$\dfrac{p^2-q^2}{2(a-b)}$

$\dfrac{(p-q)^2}{2\sqrt{ab}}$

$\dfrac{ap^2-bq^2}{2(ap-bq)}$

$\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}$

$\sqrt{(a-b)(p-q)}$

Respuesta: D

Conceptos:razón y proporción radical sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Sea $X=k\sqrt n$ la pensión actual y escribe las dos pensiones hipotéticas

Let the current pension be $X=k\sqrt n$ and write the two hypothetical pensions

Pista grande:

Eleva al cuadrado $X+p=k\sqrt{n+a}$ y $X+q=k\sqrt{n+b}$ , y luego elimina tanto $n$ como $k^2$

Square $X+p=k\sqrt{n+a}$ and $X+q=k\sqrt{n+b}$ , then eliminate both $n$ and $k^2$

Solución:

Sea $X=k\sqrt n$ la pensión actual. Como $X+p=k\sqrt{n+a}$ y $X+q=k\sqrt{n+b},$ al elevar al cuadrado y usar $X^2=k^2n$ se obtienen las dos primeras ecuaciones de abajo. Al multiplicarlas por $b$ y $a,$ respectivamente, y restar, se obtiene la tercera: $\begin{gathered} 2pX+p^2=k^2a,\\ 2qX+q^2=k^2b,\\ 2X(bp-aq)=aq^2-bp^2. \end{gathered}$ Por lo tanto, $X=\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the current pension be $X=k\sqrt n.$ Since $X+p=k\sqrt{n+a}$ and $X+q=k\sqrt{n+b},$ squaring and using $X^2=k^2n$ gives the first line below. Multiplying its equations by $b$ and $a,$ respectively, and subtracting gives the second: $\begin{gathered} 2pX+p^2=k^2a,\\ 2qX+q^2=k^2b,\\ 2X(bp-aq)=aq^2-bp^2. \end{gathered}$ Hence $X=\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}.$

Therefore, the correct answer is D.

1970 AMC 12 Problema 35

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 35 en otros años