Question

Se dan los puntos $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_7$ sobre una recta, en el orden indicado, aunque no necesariamente equiespaciados. Sea $P$ un punto cualquiera de la recta y sea $s$ la suma de las longitudes no dirigidas

$PP_1,\ PP_2,\ \ldots,\ PP_7.$

Entonces $s$ es mínimo si y solo si el punto $P$ está:

Given points $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_7$ on a straight line, in the order stated (not necessarily evenly spaced). Let $P$ be an arbitrarily selected point on the line and let $s$ be the sum of the undirected lengths

$PP_1,\ PP_2,\ \ldots,\ PP_7.$

Then $s$ is smallest if and only if the point $P$ is:

a mitad de camino entre $P_1$ y $P_7$

midway between $P_1$ and $P_7$

a mitad de camino entre $P_2$ y $P_6$

midway between $P_2$ and $P_6$

a mitad de camino entre $P_3$ y $P_5$

midway between $P_3$ and $P_5$

en $P_4$

at $P_4$

en $P_1$

at $P_1$

Respuesta: D

Conceptos:optimización emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Empareja las distancias a $P_1,P_7$ , luego las de $P_2,P_6$ , y finalmente las de $P_3,P_5$

Pair the distances to $P_1,P_7$ , then $P_2,P_6$ , then $P_3,P_5$

Pista grande:

Cada suma emparejada es mínima en todo el segmento entre sus puntos; el punto central no emparejado selecciona una posición

Each paired sum is minimized throughout its intervening segment; the unpaired middle point selects one location

Solución:

Para cualquier par $P_i,P_{8-i},$ la suma $PP_i+PP_{8-i}$ es mínima cuando $P$ está entre ellos. Los tres intervalos de este tipo contienen $P_4.$ El término restante $PP_4$ es mínimo únicamente cuando $P=P_4.$

Así, la respuesta correcta es D.

For any pair $P_i,P_{8-i},$ the sum $PP_i+PP_{8-i}$ is minimized when $P$ lies between them. The three such intervals all contain $P_4.$ The remaining term $PP_4$ is uniquely minimized at $P=P_4.$

Thus, the correct answer is D.

1963 AMC 12 Problema 37

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 37 en otros años