Question

Si $y=\log_a x,$ $a>1,$ ¿cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta?

If $y=\log_a x,$ $a>1,$ which of the following statements is incorrect?

Si $x=1,$ entonces $y=0$

If $x=1,$ $y=0$

Si $x=a,$ entonces $y=1$

If $x=a,$ $y=1$

Si $x=-1,$ entonces $y$ es imaginario (complejo)

If $x=-1,$ $y$ is imaginary (complex)

Si 0<x<1, entonces $y$ siempre es menor que $0$ y decrece sin límite cuando $x$ se aproxima a cero

If 0<x<1, $y$ is always less than $0$ and decreases without limit as $x$ approaches zero

Solo algunas de las afirmaciones anteriores son correctas

Only some of the above statements are correct

Respuesta: E

Conceptos:logaritmo función número complejo

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Comprueba directamente las opciones A y B mediante la definición de logaritmo

Check choices A and B directly from the definition of a logarithm

Pista grande:

Para $a>1,$ el logaritmo real es creciente y tiende a $-\infty$ cuando $x$ se aproxima a $0$ por la derecha

For $a>1,$ the real logarithm is increasing and tends to $-\infty$ as $x$ approaches $0$ from the right

Solución:

Tenemos $\log_a1=0$ y $\log_aa=1.$ Un logaritmo real no está definido en $-1,$ aunque sus valores complejos no son reales. Para $a>1,$ se cumple $\log_a x<0$ en $0<x<1,$ y tiende a $-\infty$ cuando $x$ se aproxima a $0$ por la derecha. Así, las afirmaciones A a D son todas correctas, de modo que la afirmación de que solo algunas son correctas es la incorrecta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have $\log_a1=0$ and $\log_aa=1.$ A real logarithm is not defined at $-1,$ though its complex values are nonreal. For $a>1,$ $\log_a x<0$ on $0<x<1,$ and it tends to $-\infty$ as $x$ approaches $0$ from the right. Thus statements A through D are all correct, making the claim that only some are correct the incorrect statement.

Thus, the correct answer is E.

1950 AMC 12 Problema 37

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 37 en otros años