Question

El primer término de una sucesión aritmética de enteros consecutivos es $k^2+1.$ La suma de $2k+1$ términos se expresa como:

The first term of an arithmetic series of consecutive integers is $k^2+1.$ The sum of $2k+1$ terms of this series may be expressed as:

$k^3+(k+1)^3$

$(k-1)^3+k^3$

$(k+1)^3$

$(k+1)^2$

$(2k+1)(k+1)^2$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Halla el último término tras $2k$ incrementos desde el primero

Find the last term after $2k$ increases from the first term

Pista grande:

Usa el promedio del primer y último término

Use the arithmetic-series average of the first and last terms

Solución:

El último término es $k^2+1+2k=(k+1)^2.$ El promedio del primero y el último es $k^2+k+1.$ Entonces la suma es $\begin{aligned} S&=(2k+1)(k^2+k+1)\\ &=k^3+(k+1)^3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The last term is $k^2+1+2k=(k+1)^2.$ The average of the first and last terms is $k^2+k+1.$ Therefore the sum is $\begin{aligned} S&=(2k+1)(k^2+k+1)\\ &=k^3+(k+1)^3. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1958 AMC 12 Problema 37

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 37 en otros años