Question

Se da un conjunto $S$ formado por dos tipos de elementos no definidos, “pib” y “maa”, y los cuatro postulados:

$\mathrm{P}_1:$ Todo pib es una colección de maas.

$\mathrm{P}_2:$ Dos pibs distintos cualesquiera tienen uno y solo un maa en común.

$\mathrm{P}_3:$ Todo maa pertenece a dos y solo dos pibs.

$\mathrm{P}_4:$ Hay exactamente cuatro pibs.

Considera los tres teoremas:

$\mathrm{T}_1:$ Hay exactamente seis maas.

$\mathrm{T}_2:$ Hay exactamente tres maas en cada pib.

$\mathrm{T}_3:$ Para cada maa hay exactamente otro maa que no comparte ningún pib con él.

Los teoremas que se deducen de los postulados son:

Given a set $S$ consisting of two undefined elements “pib” and “maa,” and the four postulates:

$\mathrm{P}_1:$ Every pib is a collection of maas.

$\mathrm{P}_2:$ Any two distinct pibs have one and only one maa in common.

$\mathrm{P}_3:$ Every maa belongs to two and only two pibs.

$\mathrm{P}_4:$ There are exactly four pibs.

Consider the three theorems:

$\mathrm{T}_1:$ There are exactly six maas.

$\mathrm{T}_2:$ There are exactly three maas in each pib.

$\mathrm{T}_3:$ For each maa there is exactly one other maa not in the same pib with it.

The theorems which are deducible from the postulates are:

solo $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_3$ only

solo $\mathrm{T}_2$ y $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_2$ and $\mathrm{T}_3$ only

solo $\mathrm{T}_1$ y $\mathrm{T}_2$

$\mathrm{T}_1$ and $\mathrm{T}_2$ only

solo $\mathrm{T}_1$ y $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_1$ and $\mathrm{T}_3$ only

todos

all

Respuesta: E

Conceptos:conteo básico teoría de grafos deducción lógica

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Etiqueta los cuatro pibs como $1,$ $2,$ $3,$ y $4$

Label the four pibs $1,$ $2,$ $3,$ and $4$

Pista grande:

Cada maa corresponde a un par no ordenado de pibs

Each maa corresponds to an unordered pair of pibs

Solución:

Etiqueta los cuatro pibs como $1,$ $2,$ $3,$ y $4.$ Por $\mathrm P_2$ y $\mathrm P_3,$ cada maa es precisamente el maa común a un par no ordenado de pibs. Por ello hay $\binom42=6$ maas, lo que demuestra $\mathrm T_1.$

Un pib fijo $i$ contiene los tres maas $ij$ con $j\ne i,$ lo que demuestra $\mathrm T_2.$ Para el maa $ij,$ el único maa que no comparte ninguno de esos pibs es el que pertenece al par complementario de pibs, lo que demuestra $\mathrm T_3.$ Se deducen los tres.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Label the four pibs $1,$ $2,$ $3,$ and $4.$ By $\mathrm P_2$ and $\mathrm P_3,$ every maa is exactly the common maa of one unordered pair of pibs. Thus there are $\binom42=6$ maas, proving $\mathrm T_1.$

A fixed pib $i$ contains the three maas $ij$ with $j\ne i,$ proving $\mathrm T_2.$ For maa $ij,$ the unique maa sharing neither pib is the one belonging to the complementary pair of pibs, proving $\mathrm T_3.$ All three follow.

Therefore, the correct answer is E.

1967 AMC 12 Problema 38

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 38 en otros años