Question

En el triángulo $ABC$ , las medianas $AM$ y $CN$ a los lados $BC$ y $AB,$ respectivamente, se cortan en $O.$ $P$ es el punto medio del lado $AC,$ y $MP$ corta a $CN$ en $Q.$ Si el área del triángulo $OMQ$ es $n,$ entonces el área del triángulo $ABC$ es:

In triangle $ABC$ the medians $AM$ and $CN$ to sides $BC$ and $AB,$ respectively, intersect in point $O.$ $P$ is the midpoint of side $AC,$ and $MP$ intersects $CN$ in $Q.$ If the area of triangle $OMQ$ is $n,$ then the area of triangle $ABC$ is:

$16n$

$18n$

$21n$

$24n$

$27n$

Respuesta: D

Conceptos:razón de áreas baricentro geometría analítica mediana (geometría)

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Usa un modelo afín $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ y $C=(0,2)$

Use an affine model $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ and $C=(0,2)$

Pista grande:

Halla $M,O,P,Q$ y compara las dos áreas

Find $M,O,P,Q$ and compare the two areas

Solución:

Las razones de áreas son invariantes bajo transformaciones afines, así que toma $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ y $C=(0,2).$ Entonces $\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1). \end{gathered}$ La recta $MP$ es $y=1,$ y corta la mediana $CN$ en $Q=(\frac{1}{2},1).$ Así, $[OMQ]=\frac{1}{12},$ mientras que $[ABC]=2.$ Su razón es $24,$ por lo que $[ABC]=24n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Area ratios are affine-invariant, so take $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ and $C=(0,2).$ Then $\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1). \end{gathered}$ Line $MP$ is $y=1,$ and it meets median $CN$ at $Q=(\frac{1}{2},1).$ Thus $[OMQ]=\frac{1}{12},$ while $[ABC]=2.$ Their ratio is $24,$ so $[ABC]=24n.$

Therefore, the correct answer is D.

1966 AMC 12 Problema 38

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 38 en otros años