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1960 AMC 12 Problema 38

Intenta el Problema 38 del 1960 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1960 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

38.

En este diagrama, AB‾\overline{AB} y AC‾\overline{AC} son los lados iguales de un triángulo isósceles ABC,ABC, en el cual está inscrito el triángulo equilátero DEF.DEF. Denota el ángulo BFDBFD por a,a, el ángulo ADEADE por b,b, y el ángulo FECFEC por c.c. Entonces:

In this diagram AB‾\overline{AB} and AC‾\overline{AC} are the equal sides of an isosceles triangle ABC,ABC, in which is inscribed equilateral triangle DEF.DEF. Designate angle BFDBFD by a,a, angle ADEADE by b,b, and angle FECFEC by c.c. Then:

b=a+c2b=\dfrac{a+c}{2}

b=a−c2b=\dfrac{a-c}{2}

a=b−c2a=\dfrac{b-c}{2}

a=b+c2a=\dfrac{b+c}{2}

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D
Conceptos:persecución de ángulostriángulo isóscelestriángulo equilátero
Nivel de dificultad: 2000
Pista pequeña:

Sea θ\theta cada ángulo de la base de ABCABC

Let each base angle of ABCABC be θ\theta

Pista grande:

Compara las direcciones de DF,DF, DEDE y EFEF usando los ángulos de 60∘60^\circ del triángulo equilátero

Compare the directions of DF,DF, DE,DE, and EFEF using the 60∘60^\circ angles of the equilateral triangle

Solución:

Sea cada ángulo de la base de ABCABC igual a θ.\theta. Medida desde la dirección de BC,BC, la recta FDFD tiene dirección 180∘−a,180^\circ-a, así que la condición equilátera hace que DEDE tenga dirección 60∘−a.60^\circ-a. En D,D, b=θ−(60∘−a)=θ−60∘+a. b=\theta-(60^\circ-a)=\theta-60^\circ+a. De manera análoga, al perseguir ángulos en EE se obtiene c=60∘+a−θ. c=60^\circ+a-\theta. Al sumar estas ecuaciones resulta b+c=2a.b+c=2a.

Por lo tanto, a=b+c2,a=\frac{b+c}{2}, y la respuesta correcta es D.

Let each base angle of ABCABC be θ.\theta. Measured from the direction BC,BC, the line FDFD has direction 180∘−a,180^\circ-a, so the equilateral condition makes DEDE have direction 60∘−a.60^\circ-a. At D,D, b=θ−(60∘−a)=θ−60∘+a. b=\theta-(60^\circ-a)=\theta-60^\circ+a. Similarly, angle chasing at EE gives c=60∘+a−θ. c=60^\circ+a-\theta. Adding these equations yields b+c=2a.b+c=2a.

Therefore a=b+c2,a=\frac{b+c}{2}, and the correct answer is D.

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