Question

La población de Nosuch Junction fue en cierto momento un cuadrado perfecto. Más tarde, tras aumentar en $100,$ la población era uno más que un cuadrado perfecto. Ahora, después de otro aumento de $100,$ la población vuelve a ser un cuadrado perfecto.

La población original es múltiplo de:

The population of Nosuch Junction at one time was a perfect square. Later, with an increase of $100,$ the population was one more than a perfect square. Now, with an additional increase of $100,$ the population is again a perfect square.

The original population is a multiple of:

$3$

$7$

$9$

$11$

$17$

Respuesta: B

Conceptos:diferencia de cuadrados cuadrado perfecto factor enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Escribe las poblaciones como $a^2,$ $b^2+1,$ y $c^2$

Write the populations as $a^2,$ $b^2+1,$ and $c^2$

Pista grande:

A partir de $b^2-a^2=99,$ prueba los pares de factores positivos de $99$ y luego impón $c^2-a^2=200$

From $b^2-a^2=99,$ test the positive factor pairs of $99$ , then impose $c^2-a^2=200$

Solución:

Sea $a^2$ la población original. Entonces $\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200. \end{aligned}$ De $(b-a)(b+a)=99,$ las posibilidades positivas para $a$ son $49,$ $15,$ y $1.$ Al comprobar la segunda condición, solo funciona $a=49,$ pues $49^2+200=2601=51^2.$ La población es $49^2=7^4,$ múltiplo de $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the original population be $a^2.$ Then $\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200. \end{aligned}$ From $(b-a)(b+a)=99,$ the positive possibilities for $a$ are $49,$ $15,$ and $1.$ Checking the second condition, only $a=49$ works, since $49^2+200=2601=51^2.$ The population is $49^2=7^4,$ a multiple of $7.$

Thus, the correct answer is B.

1962 AMC 12 Problema 38

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 38 en otros años