Question

El triángulo $ABC$ está inscrito en un semicírculo de radio $r$ , con su base $AB$ sobre el diámetro $AB.$ El punto $C$ no coincide con $A$ ni $B.$ Sea $s=AC+BC.$ Para toda posición permitida de $C:$

Triangle $ABC$ is inscribed in a semicircle of radius $r$ so that its base $AB$ coincides with diameter $AB.$ Point $C$ does not coincide with either $A$ or $B.$ Let $s=AC+BC.$ Then, for all permissible positions of $C:$

$s^2\le8r^2$

$s^2=8r^2$

$s^2\ge8r^2$

$s^2\le4r^2$

$s^2=4r^2$

Respuesta: A

Conceptos:ángulo inscrito triángulo rectángulo Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

El ángulo subtendido por el diámetro es recto

The angle subtended by the diameter is a right angle

Pista grande:

Si los catetos son $p$ y $q,$ compara $(p+q)^2$ con $2(p^2+q^2)$

If the legs are $p$ and $q,$ compare $(p+q)^2$ with $2(p^2+q^2)$

Solución:

Por el teorema de Tales, $ABC$ es rectángulo en $C.$ Sean $p=AC$ y $q=BC.$ Entonces $p^2+q^2=AB^2=4r^2.$ Como $(p-q)^2\ge0,$ tenemos $2pq\le p^2+q^2.$ Por tanto, $s^2=(p+q)^2\le2(p^2+q^2)=8r^2.$

Así, la respuesta correcta es A.

By Thales’ theorem, $ABC$ is right at $C.$ Put $p=AC$ and $q=BC.$ Then $p^2+q^2=AB^2=4r^2.$ Since $(p-q)^2\ge0,$ we have $2pq\le p^2+q^2.$ Therefore $s^2=(p+q)^2\le2(p^2+q^2)=8r^2.$

Thus, the correct answer is A.

1961 AMC 12 Problema 38

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 38 en otros años