Question

一个长方形长 $5$ 英寸、宽小于 $4$ 英寸。将其折叠，使一对对角顶点重合。若折痕长为 $\sqrt6$ ，则长方形的宽为：

The length of a rectangle is $5$ inches and its width is less than $4$ inches. The rectangle is folded so that two diagonally opposite vertices coincide. If the length of the crease is $\sqrt6,$ then the width is:

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt5$

$\sqrt{\frac{11}{2}}$

答案：D

知识点：折纸垂直平分线坐标几何勾股定理

难度评级：2290

小提示：

折痕是长方形一条对角线的垂直平分线

The crease is the perpendicular bisector of a rectangle diagonal

大提示：

若宽为 $w\lt4$ ，则折痕与两条长边交点的水平距离为 $\frac{w^2}{5}$

If the width is $w\lt4,$ its intersections with the long sides differ horizontally by $\frac{w^2}{5}$

解答：

将长方形的四个顶点置于 $(0,0)$ 、 $(5,0)$ 、 $(5,w)$ 和 $(0,w)$ 。使 $(0,0)$ 与 $(5,w)$ 重合的折痕为 $5x+wy=\frac{25+w^2}{2}\text{。}$ 因为 $w\lt4$ ，折痕与两条水平边相交。两个交点间的竖直变化量为 $w$ ，水平变化量为 $\frac{w^2}{5}$ 。因此 $6=w^2+\frac{w^4}{25}\text{。}$ 令 $z=w^2$ ，得 $z^2+25z-150=0$ ，所以 $z=5$ ，且 $w=\sqrt5$ 。

因此，正确答案是 D。

Place the rectangle at $(0,0),$ $(5,0),$ $(5,w),$ and $(0,w).$ The crease sending $(0,0)$ to $(5,w)$ is $5x+wy=\frac{25+w^2}{2}.$ Because $w\lt4,$ it meets the two horizontal sides. Between those intersections the vertical change is $w$ and the horizontal change is $\frac{w^2}{5}.$ Thus $6=w^2+\frac{w^4}{25}.$ Setting $z=w^2$ gives $z^2+25z-150=0,$ so $z=5$ and $w=\sqrt5.$

Therefore, the correct answer is D.

1965 AMC 12 第 35 题

答案：D

难度评级：2290

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 35 题