Question

若 $x$ 和 $y$ 都是整数，则方程 $(x-8)(x-10)=2^y$ 有多少组解？

If both $x$ and $y$ are integers, how many solutions are there to the equation $(x-8)(x-10)=2^y?$

$0$

$1$

$2$

$3$

多于 $3$ 组

more than $3$

答案：C

知识点：丢番图方程 2的幂平方差

难度评级：1900

小提示：

将左边改写为 $(x-9)^2-1$

Rewrite the left side as $(x-9)^2-1$

大提示：

若 $n=x-9$ ，则相邻的两个偶数因式 $n-1$ 和 $n+1$ 都必须是 $2$ 的幂

If $n=x-9,$ then the consecutive even factors $n-1$ and $n+1$ must both be powers of $2$

解答：

令 $n=x-9$ 。则 $2^y=n^2-1=(n-1)(n+1)\text{。}$ 由于乘积是 $2$ 的幂，两个因式都不能含有奇素因子。相差 $2$ 且均为带符号的 $2$ 的幂的相邻偶数，只有 $(-4,-2)$ 和 $(2,4)$ 。因此 $n=\pm3$ 且 $y=3$ ，给出 $x=6$ 或 $12$ 。共有 $2$ 个有序数对 $(x,y)$ 。

所以正确答案是 C。

Put $n=x-9.$ Then $2^y=n^2-1=(n-1)(n+1).$ Since the product is a power of $2,$ both factors must have no odd prime divisor. The only consecutive even integers differing by $2$ that are both signed powers of $2$ are $(-4,-2)$ and $(2,4).$ Thus $n=\pm3$ and $y=3,$ giving $x=6$ or $12.$ There are $2$ ordered pairs $(x,y).$

Therefore, the correct answer is C.

1962 AMC 12 第 36 题

答案：C

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 36 题