Question

$ABCD$ 是边长为单位长度的正方形。分别在边 $AB$ 和 $AD$ 上取点 $E$ 和 $F$ ，使得 $AE=AF$ ，且四边形 $CDFE$ 的面积最大。以平方单位计，此最大面积为：

$ABCD$ is a square with side of unit length. Points $E$ and $F$ are taken respectively on sides $AB$ and $AD$ so that $AE=AF$ and the quadrilateral $CDFE$ has maximum area. In square units this maximum area is:

$\dfrac12$

$\dfrac9{16}$

$\dfrac{19}{32}$

$\dfrac58$

$\dfrac23$

答案：D

知识点：面积鞋带公式配方法最优化

难度评级：1730

小提示：

令 $AE=AF=t$ ，并使用坐标法或鞋带公式

Let $AE=AF=t$ and use coordinates or the shoelace formula

大提示：

面积化为 $\frac12(1+t-t^2)$ ；再进行配方

The area becomes $\frac12(1+t-t^2)$ ; complete the square

解答：

令 $A=(0,0)$ 、 $B=(1,0)$ 、 $C=(1,1)$ 且 $D=(0,1)$ 。则 $E=(t,0)$ ，且 $F=(0,t)$ 。由鞋带公式得 $\begin{aligned} [CDFE]&=\frac{1+t-t^2}{2}\\ &=\frac58-\frac12 \left(t-\frac12\right)^2 \end{aligned}\text{。}$ 其最大值为 $\frac{5}{8}$ 。

所以正确答案是 D。

Set $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $C=(1,1),$ and $D=(0,1).$ Then $E=(t,0)$ and $F=(0,t).$ The shoelace formula gives $\begin{aligned} [CDFE]&=\frac{1+t-t^2}{2}\\ &=\frac58-\frac12 \left(t-\frac12\right)^2. \end{aligned}$ Its maximum is $\frac{5}{8}.$

Thus, the correct answer is D.

1962 AMC 12 第 37 题

答案：D

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 37 题