Question

一个由连续整数组成的等差数列首项为 $k^2+1$ 。该数列前 $2k+1$ 项的和可表示为：

The first term of an arithmetic series of consecutive integers is $k^2+1.$ The sum of $2k+1$ terms of this series may be expressed as:

$k^3+(k+1)^3$

$(k-1)^3+k^3$

$(k+1)^3$

$(k+1)^2$

$(2k+1)(k+1)^2$

答案：A

知识点：等差数列求和代数变形

难度评级：1630

小提示：

从首项起增加 $2k$ 次，求出末项

Find the last term after $2k$ increases from the first term

大提示：

利用等差数列首末项的平均数

Use the arithmetic-series average of the first and last terms

解答：

末项为 $k^2+1+2k=(k+1)^2\text{。}$ 首项与末项的平均数为 $k^2+k+1$ 。因此总和为 $\begin{aligned} S&=(2k+1)(k^2+k+1)\\ &=k^3+(k+1)^3 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案为 A。

The last term is $k^2+1+2k=(k+1)^2.$ The average of the first and last terms is $k^2+k+1.$ Therefore the sum is $\begin{aligned} S&=(2k+1)(k^2+k+1)\\ &=k^3+(k+1)^3. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1958 AMC 12 第 37 题

答案：A

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 37 题