Question

从三角形 $ABC$ 的三个顶点分别向一条不与三角形相交的直线 $RS$ 作垂线段 $AD=10$ 、 $BE=6$ 、 $CF=24$ 。点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 是这些垂线与 $RS$ 的交点。若三条中线交于 $G$ ，从该点向 $RS$ 作垂线段 $GH$ ，且其长度为 $x$ ，则 $x$ 为：

Segments $AD=10,$ $BE=6,$ $CF=24$ are drawn from the vertices of triangle $ABC,$ each perpendicular to a straight line $RS,$ not intersecting the triangle. Points $D,$ $E,$ $F$ are the intersection points of $RS$ with the perpendiculars. If $x$ is the length of the perpendicular segment $GH$ drawn to $RS$ from the intersection point $G$ of the medians of the triangle, then $x$ is:

$\dfrac{40}{3}$

$16$

$\dfrac{56}{3}$

$\dfrac{80}{3}$

无法确定

undetermined

答案：A

知识点：重心向量平均数

难度评级：1480

小提示：

点到固定直线的有向距离是仿射函数

Signed distance from a point to a fixed line is an affine function

大提示：

重心的位置向量是三个顶点位置向量的平均值

The centroid is the average of the three vertices

解答：

由于 $RS$ 不与三角形相交，三个垂直距离的符号相同。点到固定直线的有向距离是仿射函数，而重心是三个顶点的平均。因此，重心到直线的距离等于三个距离的平均值： $x=\frac{10+6+24}{3}=\frac{40}{3}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Because $RS$ does not intersect the triangle, the three perpendicular distances have the same sign. Signed distance to a fixed line is affine, and the centroid is the average of the vertices. Therefore its distance is the average $x=\frac{10+6+24}{3}=\frac{40}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

1967 AMC 12 第 37 题

答案：A

难度评级：1480

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 37 题