Question

直线上的点 $P_1$ 、 $P_2$ 、 $\ldots$ 、 $P_7$ 按此顺序排列，但间距不一定相等。在该直线上任取一点 $P$ ，令 $s$ 为以下无向线段长度之和：

$PP_1,\ PP_2,\ \ldots,\ PP_7\text{。}$

则 $s$ 取得最小值的充要条件是点 $P$ 位于：

Given points $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_7$ on a straight line, in the order stated (not necessarily evenly spaced). Let $P$ be an arbitrarily selected point on the line and let $s$ be the sum of the undirected lengths

$PP_1,\ PP_2,\ \ldots,\ PP_7.$

Then $s$ is smallest if and only if the point $P$ is:

$P_1$ 与 $P_7$ 的中点

midway between $P_1$ and $P_7$

$P_2$ 与 $P_6$ 的中点

midway between $P_2$ and $P_6$

$P_3$ 与 $P_5$ 的中点

midway between $P_3$ and $P_5$

$P_4$ 处

at $P_4$

$P_1$ 处

at $P_1$

答案：D

知识点：最优化配对与分组

难度评级：1640

小提示：

先把到 $P_1,P_7$ 的距离配对，再依次配对 $P_2,P_6$ 和 $P_3,P_5$

Pair the distances to $P_1,P_7$ , then $P_2,P_6$ , then $P_3,P_5$

大提示：

每对距离之和在两点间的整段上都最小，剩余的中间点会确定唯一位置

Each paired sum is minimized throughout its intervening segment; the unpaired middle point selects one location

解答：

对任意一对 $P_i,P_{8-i}$ ，距离之和 $PP_i+PP_{8-i}$ 在 $P$ 位于它们之间时最小。这三个区间都包含 $P_4$ 。剩余的一项 $PP_4$ 仅在 $P=P_4$ 时达到最小。

所以正确答案是 D。

For any pair $P_i,P_{8-i},$ the sum $PP_i+PP_{8-i}$ is minimized when $P$ lies between them. The three such intervals all contain $P_4.$ The remaining term $PP_4$ is uniquely minimized at $P=P_4.$

Thus, the correct answer is D.

1963 AMC 12 第 37 题

答案：D

难度评级：1640

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 37 题