Question

点 $F$ 位于平行四边形 $ABCD$ 的边 $AD$ 的延长线上。 $BF$ 与对角线 $AC$ 交于 $E$ ，与边 $DC$ 交于 $G$ 。若 $EF=32$ 且 $GF=24$ ，则 $BE$ 等于：

Point $F$ is taken on the extension of side $AD$ of parallelogram $ABCD.$ $BF$ intersects diagonal $AC$ at $E$ and side $DC$ at $G.$ If $EF=32$ and $GF=24,$ then $BE$ equals:

$4$

$8$

$10$

$12$

$16$

答案：E

知识点：平行四边形向量比与比例

难度评级：2150

小提示：

用各点从 $F$ 到 $B$ 所走距离的比例来参数化 $FB$ 上的点

Parameterize points on $FB$ by their fraction of the distance from $F$ to $B$

大提示：

若 $F=tD$ ，在以 $A$ 为原点的仿射坐标中， $G$ 和 $E$ 的参数分别为 $\frac{t-1}{t}$ 和 $\frac{t}{t+1}$

If $F=tD$ in affine coordinates based at $A,$ the parameters of $G$ and $E$ are $\frac{t-1}{t}$ and $\frac{t}{t+1}$

解答：

取仿射坐标 $A=0$ 、 $B=u$ 、 $D=v$ 、 $C=u+v$ ，以及 $F=tv$ 。 $FB$ 上一点可写为 $su+t(1-s)v$ 。与 $DC$ 相交得到 $s_G=\frac{t-1}{t}$ ，与 $AC$ 相交得到 $s_E=\frac{t}{t+1}$ 。因此 $\begin{aligned} \frac{GF}{EF} &=\frac{s_G}{s_E} =\frac{t^2-1}{t^2}\\ &=\frac{24}{32}=\frac34 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $t=2$ ，且 $s_E=\frac{2}{3}$ 。于是 $EF=(\frac{2}{3})FB=32$ ，从而 $FB=48$ ， $BE=16$ 。

所以正确答案是 E。

Use affine coordinates $A=0,$ $B=u,$ $D=v,$ $C=u+v,$ and $F=tv.$ A point on $FB$ is $su+t(1-s)v.$ Intersecting $DC$ gives $s_G=\frac{t-1}{t},$ while intersecting $AC$ gives $s_E=\frac{t}{t+1}.$ Therefore $\begin{aligned} \frac{GF}{EF} &=\frac{s_G}{s_E} =\frac{t^2-1}{t^2}\\ &=\frac{24}{32}=\frac34, \end{aligned}$ so $t=2$ and $s_E=\frac{2}{3}.$ Thus $EF=(\frac{2}{3})FB=32,$ making $FB=48$ and $BE=16.$

Therefore, the correct answer is E.

1963 AMC 12 第 38 题

答案：E

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 38 题