Question

若 $4x+\sqrt{2x}=1$ ，则 $x$ ：

If $4x+\sqrt{2x}=1,$ then $x:$

是整数

is an integer

是分数

is fractional

是无理数

is irrational

是虚数

is imaginary

可能有两个不同的值

may have two different values

答案：B

知识点：根式换元法二次方程

难度评级：1360

小提示：

令 $u=\sqrt{2x}$ ，则 $x=\frac{u^2}{2}$ 且 $u\ge0$

Set $u=\sqrt{2x},$ so $x=\frac{u^2}{2}$ and $u\ge0$

大提示：

解所得二次方程 $2u^2+u-1=0$

Solve the resulting quadratic $2u^2+u-1=0$

解答：

令 $u=\sqrt{2x}\ge0$ 。由于 $x=\frac{u^2}{2}$ ，方程变为 $2u^2+u=1\text{，}$ 即 $(2u-1)(u+1)=0$ 。因此 $u=\frac{1}{2}$ 且 $x=\frac{u^2}{2}=\frac{1}{8}$ 。另一个二次方程根因 $u\ge0$ 而不合条件。故 $x$ 是分数。

因此，正确答案是 B。

Let $u=\sqrt{2x}\ge0.$ Since $x=\frac{u^2}{2},$ the equation becomes $2u^2+u=1,$ or $(2u-1)(u+1)=0.$ Thus $u=\frac{1}{2}$ and $x=\frac{u^2}{2}=\frac{1}{8}.$ The other quadratic root is inadmissible because $u\ge0.$ Hence $x$ is fractional.

Therefore, the correct answer is B.

1959 AMC 12 第 38 题

答案：B

难度评级：1360

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 38 题