Question

设 $r$ 为原点到坐标为 $x$ 、 $y$ 的点 $P$ 的距离。用 $s$ 表示比值 $\frac{y}{r}$ ，用 $c$ 表示比值 $\frac{x}{r}$ 。则 $s^2-c^2$ 的取值范围为：

Let $r$ be the distance from the origin to a point $P$ with coordinates $x$ and $y.$ Designate the ratio $\frac{y}{r}$ by $s$ and the ratio $\frac{x}{r}$ by $c.$ Then the values of $s^2-c^2$ are limited to the numbers:

小于 $-1$ 或大于 $+1$ ，两端均不包括

less than $-1$ and greater than $+1,$ both excluded

小于等于 $-1$ 或大于等于 $+1$

less than $-1$ and greater than $+1,$ both included

在 $-1$ 与 $+1$ 之间，两端均不包括

between $-1$ and $+1,$ both excluded

在 $-1$ 与 $+1$ 之间，两端均包括

between $-1$ and $+1,$ both included

仅 $-1$ 和 $+1$

$-1$ and $+1$ only

答案：D

知识点：坐标几何勾股定理不等式

难度评级：1280

小提示：

利用 $r^2=x^2+y^2$ 建立 $s^2+c^2$ 的关系

Use $r^2=x^2+y^2$ to relate $s^2+c^2$

大提示：

将 $s^2-c^2$ 改写为 $2s^2-1$

Rewrite $s^2-c^2$ as $2s^2-1$

解答：

由于 $r^2=x^2+y^2$ ， $s^2+c^2=\frac{y^2+x^2}{r^2}=1\text{。}$ 因此 $s^2-c^2=2s^2-1$ 。因为 $0\le s^2\le1$ ，该表达式的取值从 $-1$ 到 $1$ ，包括两个端点。

所以正确答案为 D。

Since $r^2=x^2+y^2,$ $s^2+c^2=\frac{y^2+x^2}{r^2}=1.$ Thus $s^2-c^2=2s^2-1.$ Because $0\le s^2\le1,$ this expression ranges from $-1$ through $1,$ with both endpoints included.

Thus, the correct answer is D.

1958 AMC 12 第 38 题

答案：D

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 38 题