Question

诺萨奇镇的人口曾经是一个完全平方数。后来人口增加 $100$ 后，比某个完全平方数多一。现在人口又增加 $100$ ，再次成为完全平方数。

原来的人口是下列哪个数的倍数：

The population of Nosuch Junction at one time was a perfect square. Later, with an increase of $100,$ the population was one more than a perfect square. Now, with an additional increase of $100,$ the population is again a perfect square.

The original population is a multiple of:

$3$

$7$

$9$

$11$

$17$

答案：B

知识点：平方差完全平方数因数系统列举

难度评级：1980

小提示：

将三个人口数分别写成 $a^2$ 、 $b^2+1$ 和 $c^2$

Write the populations as $a^2,$ $b^2+1,$ and $c^2$

大提示：

从 $b^2-a^2=99$ 出发，检验 $99$ 的正因数对，再加入条件 $c^2-a^2=200$

From $b^2-a^2=99,$ test the positive factor pairs of $99$ , then impose $c^2-a^2=200$

解答：

设原来的人口为 $a^2$ 。则 $\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200\text{。} \end{aligned}$ 由 $(b-a)(b+a)=99$ ， $a$ 的正数可能值为 $49$ 、 $15$ 和 $1$ 。检验第二个条件，只有 $a=49$ 可行，因为 $49^2+200=2601=51^2\text{。}$ 人口为 $49^2=7^4$ ，是 $7$ 的倍数。

所以正确答案是 B。

Let the original population be $a^2.$ Then $\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200. \end{aligned}$ From $(b-a)(b+a)=99,$ the positive possibilities for $a$ are $49,$ $15,$ and $1.$ Checking the second condition, only $a=49$ works, since $49^2+200=2601=51^2.$ The population is $49^2=7^4,$ a multiple of $7.$

Thus, the correct answer is B.

1962 AMC 12 第 38 题

答案：B

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 38 题