Question

一个等比数列有五项，每项都是小于 $100$ 的正整数。五项之和为 $211$ 。若 $S$ 是其中所有完全平方数项之和，则 $S$ 为：

Given a geometric progression of five terms, each a positive integer less than $100.$ The sum of the five terms is $211.$ If $S$ is the sum of those terms in the progression which are squares of integers, then $S$ is:

$0$

$91$

$133$

$195$

$211$

答案：C

知识点：等比数列整除性完全平方数分类讨论

难度评级：2380

小提示：

将有理公比约成最简分数 $\frac{c}{d}$

Write the rational common ratio in lowest terms as $\frac{c}{d}$

大提示：

各项均为整数意味着中间项是 $c^2d^2$ 的倍数；再利用 $211$ 是质数

Integrality forces the middle term to be a multiple of $c^2d^2$ ; use that $211$ is prime

解答：

设最简形式的公比为 $\frac{c}{d}$ ，中间项为 $a$ 。因为五项都是整数，所以 $a$ 是 $c^2d^2$ 的倍数，可写成 $a=kc^2d^2$ 。此时总和 $211$ 能被 $k$ 整除，所以 $k$ 为 $1$ 或 $211$ 。但中间项 $a$ 小于 $100$ ，故 $k=1$ 。

因此 $\begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211 \end{aligned}\text{。}$ 由范围限制可知 $c,d\lt4$ 。若其中一个为 $1$ ，可能的总和为 $5$ 、 $31$ 或 $121$ ，都不是 $211$ 。再结合互质条件，只剩 $c$ 与 $d$ 分别为 $2$ 和 $3$ ，次序可以互换。这个数列为 $16$ 、 $24$ 、 $36$ 、 $54$ 、 $81$ 。其中完全平方数项之和为 $16+36+81=133$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the common ratio be $\frac{c}{d}$ in lowest terms and the middle term be $a.$ Since all five terms are integers, $a$ is divisible by $c^2d^2,$ so write $a=kc^2d^2.$ The sum $211$ is then divisible by $k.$ Thus $k$ is $1$ or $211.$ But the middle term $a$ is less than $100,$ so $k=1.$

Thus $\begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211. \end{aligned}$ The bound gives $c,d\lt4.$ If either is $1,$ the possible sums are $5,$ $31,$ or $121,$ not $211.$ Coprimality therefore leaves $c$ and $d$ equal to $2$ and $3$ in either order. The progression is $16,$ $24,$ $36,$ $54,$ $81.$ Its square terms sum to $16+36+81=133.$

Therefore, the correct answer is C.

1967 AMC 12 第 36 题

答案：C

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 36 题