1993 AMC 12 Problema 6

Intenta el Problema 6 del 1993 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1993 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

$\sqrt{\frac{8^{10}+4^{10}}{8^4+4^{11}}}=$

$\sqrt2$

$16$

$32$

$12^{\frac{2}{3}}$

$512.5$

Respuesta: B

Conceptos:factoring powers radicals

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Reescribe cada potencia con base $2$

Rewrite every power with base $2$

Pista grande:

Extrae como factor la menor potencia del numerador y del denominador

Factor the smaller power from the numerator and denominator

Solución:

Escribiendo todos los términos como potencias de $2,$ $\begin{aligned} \frac{8^{10}+4^{10}}{8^4+4^{11}} &=\frac{2^{30}+2^{20}}{2^{12}+2^{22}}\\ &=\frac{2^{20}(2^{10}+1)} {2^{12}(1+2^{10})}\\ &=2^8. \end{aligned}$ Su raíz cuadrada positiva es $2^4=16.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Writing all terms as powers of $2,$ $\begin{aligned} \frac{8^{10}+4^{10}}{8^4+4^{11}} &=\frac{2^{30}+2^{20}}{2^{12}+2^{22}}\\ &=\frac{2^{20}(2^{10}+1)} {2^{12}(1+2^{10})}\\ &=2^8. \end{aligned}$ Its positive square root is $2^4=16.$ Thus the correct answer is B.

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