Question

若 $\left(a+\dfrac1a\right)^2=3$ ，则 $a^3+\dfrac1{a^3}$ 等于：

If $\left(a+\dfrac1a\right)^2=3,$ then $a^3+\dfrac1{a^3}$ equals:

$\dfrac{10\sqrt3}{3}$

$3\sqrt3$

$0$

$7\sqrt7$

$6\sqrt3$

令 $t=a+\frac{1}{a}$ ，则已知条件为 $t^2=3$

Set $t=a+\frac{1}{a}$ , so the given condition is $t^2=3$

使用 $a^3+a^{-3}=t^3-3t$

Use $a^3+a^{-3}=t^3-3t$

令 $t=a+\frac{1}{a}$ 。由标准立方恒等式可得 $a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3)\text{。}$ 因为 $t^2=3$ ，所以该表达式等于 $0$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $t=a+\frac{1}{a}.$ The standard cubic identity gives $a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3).$ Since $t^2=3,$ this expression is $0.$

Thus, the correct answer is C.