Question

从给定圆外一点 $P$ 向圆上任意一点作线段。若该圆的圆心为 $O$ ，半径为 $r$ ，则这些线段中点的轨迹为：

The locus of the midpoint of a line segment that is drawn from a given external point $P$ to a given circle with center $O$ and radius $r,$ is:

垂直于 $\overline{PO}$ 的直线

a straight line perpendicular to $\overline{PO}$

平行于 $\overline{PO}$ 的直线

a straight line parallel to $\overline{PO}$

以 $P$ 为圆心、 $r$ 为半径的圆

a circle with center $P$ and radius $r$

以 $\overline{PO}$ 的中点为圆心、 $2r$ 为半径的圆

a circle with center at the midpoint of $\overline{PO}$ and radius $2r$

以 $\overline{PO}$ 的中点为圆心、 $\dfrac12r$ 为半径的圆

a circle with center at the midpoint of $\overline{PO}$ and radius $\dfrac12r$

答案：E

知识点：变换中点圆

难度评级：1630

小提示：

设圆上的动点为 $X$ ，它与 $P$ 所成线段的中点为 $M$

Let the variable endpoint on the given circle be $X$ and its midpoint with $P$ be $M$

大提示：

映射 $X\mapsto M$ 是以 $P$ 为中心、比例因子为 $\frac{1}{2}$ 的位似

The map $X\mapsto M$ is a dilation centered at $P$ with scale factor $\frac{1}{2}$

解答：

当端点 $X$ 在以 $O$ 为圆心的圆上移动时，它与定点 $P$ 所成线段的中点 $M$ 是 $X$ 在以 $P$ 为中心、比例因子为 $\frac{1}{2}$ 的位似下的像。因此该轨迹是一个圆，其圆心为 $\overline{PO}$ 的中点，半径为 $\frac{r}{2}$ 。

因此，正确答案是 E。

As the endpoint $X$ moves on the circle centered at $O,$ its midpoint $M$ with the fixed point $P$ is the image of $X$ under a dilation of scale $\frac{1}{2}$ centered at $P.$ Therefore the locus is a circle whose center is the midpoint of $\overline{PO}$ and whose radius is $\frac{r}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

1954 AMC 12 第 39 题

答案：E

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 39 题