Question

若一个长方形的周长为 $p$ ，对角线长为 $d$ ，则其长与宽之差为：

If the perimeter of a rectangle is $p$ and its diagonal is $d,$ the difference between the length and width of the rectangle is:

$\dfrac{\sqrt{8d^2-p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{8d^2+p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{6d^2-p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{6d^2+p^2}}2$

$\dfrac{\sqrt{8d^2-p^2}}4$

答案：A

知识点：矩形平方差对角线

难度评级：1640

小提示：

设两条边长为 $L$ 和 $W$ ，并分别写出关于 $L+W$ 与 $L^2+W^2$ 的方程

Let the side lengths be $L$ and $W$ , and write equations for $L+W$ and $L^2+W^2$

大提示：

写出 $2(L^2+W^2)$ ，再减去 $(L+W)^2$ ，得到 $(L-W)^2$

Write $2(L^2+W^2)$ , then subtract $(L+W)^2$ to obtain $(L-W)^2$

解答：

由周长和对角线可得 $\begin{aligned} L+W&=\frac p2,\\ L^2+W^2&=d^2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} (L-W)^2 &=2(L^2+W^2)\\ &\quad{}-(L+W)^2\\ &=2d^2-\frac{p^2}{4}\\ &=\frac{8d^2-p^2}{4} \end{aligned}\text{。}$ 取非负平方根，得到 $L-W=\frac{\sqrt{8d^2-p^2}}2\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The perimeter and diagonal give $\begin{aligned} L+W&=\frac p2,\\ L^2+W^2&=d^2. \end{aligned}$ Hence $\begin{aligned} (L-W)^2 &=2(L^2+W^2)\\ &\quad{}-(L+W)^2\\ &=2d^2-\frac{p^2}{4}\\ &=\frac{8d^2-p^2}{4}. \end{aligned}$ Taking the nonnegative square root gives $L-W=\frac{\sqrt{8d^2-p^2}}2.$

Thus, the correct answer is A.

1952 AMC 12 第 39 题

答案：A

难度评级：1640

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 39 题