Question

给出由连续整数组成的各集合 $\{1\}$ 、 $\{2,3\}$ 、 $\{4,5,6\}$ 、 $\{7,8,9,10\}$ 、 $\ldots$ ，每个集合都比前一个集合多一个元素，且后一个集合的首项比前一个集合的末项大一。设 $S_n$ 为第 $n$ 个集合中所有元素之和，则 $S_{21}$ 等于：

Given the sets of consecutive integers $\{1\},$ $\{2,3\},$ $\{4,5,6\},$ $\{7,8,9,10\},$ $\ldots,$ where each set contains one more element than the preceding one, and where the first element of each succeeding set is one more than the last element of the preceding set. Let $S_n$ be the sum of the elements in the $n$ th set. Then $S_{21}$ equals:

$1113$

$4641$

$5082$

$53361$

以上均不是

none of these

答案：B

知识点：等差数列三角形数求和

难度评级：1500

小提示：

第 $n$ 个集合的末项是 $\frac{n(n+1)}{2}$

The last number in the $n$ th set is $\frac{n(n+1)}{2}$

大提示：

求以该数为末项的 $n$ 个连续整数之和

Sum the $n$ consecutive integers ending at that number

解答：

第 $n$ 个集合以 $\frac{n(n+1)}{2}$ 为末项，并含有 $n$ 个连续整数。其总和为 $\begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641$ 。

因此，正确答案是 B。

The $n$ th set ends at $\frac{n(n+1)}{2}$ and contains $n$ consecutive integers. Its sum is $\begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2. \end{aligned}$ Thus $S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641.$

Therefore, the correct answer is B.

1967 AMC 12 第 39 题

答案：B

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 39 题