Question

已知级数 $2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots$ 以及下列五个说法：

$(1)$ 和无限增大。

$(2)$ 和无限减小。

$(3)$ 数列任意一项与零之差都可以小于任意给定的正数，无论该正数多么小。

$(4)$ 和与 $4$ 之差可以小于任意给定的正数，无论该正数多么小。

$(5)$ 和趋近于一个极限。

其中正确的说法是：

Given the series $2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots$ and the following five statements:

$(1)$ the sum increases without limit.

$(2)$ the sum decreases without limit.

$(3)$ the difference between any term of the sequence and zero can be made less than any positive quantity no matter how small.

$(4)$ the difference between the sum and $4$ can be made less than any positive quantity no matter how small.

$(5)$ the sum approaches a limit.

Of these statements, the correct ones are:

只有 $3$ 和 $4$

Only $3$ and $4$

只有 $5$

Only $5$

只有 $2$ 和 $4$

Only $2$ and $4$

只有 $2$ 、 $3$ 和 $4$

Only $2,$ $3,$ and $4$

只有 $4$ 和 $5$

Only $4$ and $5$

答案：E

知识点：等比数列求和微积分

难度评级：1670

小提示：

区分数列的项与级数的部分和

Distinguish the terms of the sequence from its partial sums

大提示：

首项为 $2$ 、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比级数，其部分和趋近于 $4$

A geometric series with first term $2$ and ratio $\frac{1}{2}$ has partial sums approaching $4$

解答：

部分和递增并趋近于 $\frac{2}{1-\frac12}=4\text{，}$ 所以它们既不无限增大，也不无限减小。因此，说法 $1$ 和 $2$ 错误，而说法 $4$ 和 $5$ 正确。

在说法 $3$ 中，“任意一项”指已经选定的一项，它与零的距离固定，不能再变小；正确的说法应是可以选取足够靠后的项，使其小于任意给定的正数。因此，按原文措辞，说法 $3$ 错误。

因此，只有说法 $4$ 和 $5$ 正确，所以正确答案是 E。

The partial sums increase toward $\frac{2}{1-\frac12}=4,$ so they neither increase nor decrease without limit. This makes statements $1$ and $2$ false, while statements $4$ and $5$ are true.

In statement $3,$ “any term” refers to an already selected term, whose distance from zero is fixed and cannot be made smaller; one can instead choose a sufficiently late term below any prescribed positive bound. Thus statement $3$ , as worded, is false.

Therefore only statements $4$ and $5$ are correct, so the correct answer is E.

1950 AMC 12 第 39 题

答案：E

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 39 题