Question

¿Cuántos de los diez primeros números de la sucesión $121,$ $11211,$ $1112111,$ $\ldots$ son primos?

How many of the first ten numbers of the sequence $121,$ $11211,$ $1112111,$ $\ldots$ are prime numbers?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: A

Conceptos:factorización primo

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Busca una factorización de cada término en dos enteros ambos mayores que $1$ .

Look for a factorization of each term into two integers both greater than $1$

Pista grande:

Intenta escribir un término como un repunit por un número de la forma $10^n + 1,$ por ejemplo $11211 = 111 \cdot 101$ .

Try writing a term as a repunit times a number of the form $10^n + 1,$ for example $11211 = 111 \cdot 101$

Solución:

El $n$ -ésimo término consta de $n$ unos, luego un $2,$ y luego $n$ unos. Se factoriza como un repunit por un número de la forma $10^n + 1:$ $\begin{aligned} &121 = 11 \cdot 11, \\ &\quad 11211 = 111 \cdot 101, \\ &\quad 1112111 = 1111 \cdot 1001, \end{aligned}$ y en general el $n$ -ésimo término es igual a $\underbrace{1\cdots1}_{n+1} \cdot (10^n + 1).$

Para todo $n \ge 1$ ambos factores son mayores que $1,$ por lo que cada término es compuesto. Ninguno de los diez números es primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The $n$ th term consists of $n$ ones, then a $2,$ then $n$ ones. It factors as a repunit times a number of the form $10^n + 1:$ $\begin{aligned} &121 = 11 \cdot 11, \\ &\quad 11211 = 111 \cdot 101, \\ &\quad 1112111 = 1111 \cdot 1001, \end{aligned}$ and in general the $n$ th term equals $\underbrace{1\cdots1}_{n+1} \cdot (10^n + 1).$

For every $n \ge 1$ both factors exceed $1,$ so every term is composite. None of the ten numbers is prime.

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12B Problema 3

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años