Question

下列式子中有几个恒等于 $x^x+x^x$ ，并且对所有 $x\gt0$ 都成立？ $\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad&2x^x\\ \mathrm{II:}\quad&x^{2x}\\ \mathrm{III:}\quad&(2x)^x\\ \mathrm{IV:}\quad&(2x)^{2x} \end{aligned}$

How many of the following are equal to $x^x+x^x$ for all $x\gt0?$ $\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad&2x^x\\ \mathrm{II:}\quad&x^{2x}\\ \mathrm{III:}\quad&(2x)^x\\ \mathrm{IV:}\quad&(2x)^{2x} \end{aligned}$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：B

知识点：exponential expressions identities

难度评级：1260

小提示：

先合并两个相同的项

First combine the two identical terms

大提示：

检验改变底数或指数后是否仍保持 $2x^x$ ，并且对每个 $x$ 都成立

Test whether changing the base or exponent preserves $2x^x$ for every $x$

解答：

给定的和为 $2x^x$ ，所以式 I 恒等于它。式 II 在 $x=1$ 时不成立，此时它的值为 $1$ ，而不是 $2$ 。式 III 在 $x=2$ 时不成立，此时它的值为 $16$ ，而不是 $8$ 。式 IV 在 $x=1$ 时不成立，此时它的值为 $4$ ，而不是 $2$ 。因此只有一个式子符合要求。所以正确答案是 B。

The given sum is $2x^x,$ so expression I is always equal to it. Expression II fails at $x=1,$ where its value is $1$ instead of $2.$ Expression III fails at $x=2,$ where its value is $16$ instead of $8.$ Expression IV fails at $x=1,$ where its value is $4$ instead of $2.$ Hence only one expression works. Thus the correct answer is B.

1994 AMC 12 第 3 题

答案：B

难度评级：1260

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题