1970 AMC 12 第 3 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1970 AMC 12 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

若 $x=1+2^p$ ，且 $y=1+2^{-p}$ ，则用 $x$ 表示 $y$ 为：

If $x=1+2^p$ and $y=1+2^{-p},$ then $y$ in terms of $x$ is:

$\dfrac{x+1}{x-1}$

$\dfrac{x+2}{x-1}$

$\dfrac{x}{x-1}$

$2-x$

$\dfrac{x-1}{x}$

答案：C

知识点：指数换元法分式方程

难度评级：1360

小提示：

由第一个方程解出 $2^p$

Solve the first equation for $2^p$

大提示：

利用 $2^{-p}=\frac{1}{2^p}$ ，并化简 $1+\frac{1}{x-1}$

Use $2^{-p}=\frac{1}{2^p}$ and simplify $1+\frac{1}{x-1}$

解答：

由 $x=1+2^p$ 得 $2^p=x-1$ ，所以 $\begin{aligned} y&=1+2^{-p}\\ &=1+\frac1{x-1}=\frac{x}{x-1} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

From $x=1+2^p$ we get $2^p=x-1,$ so $\begin{aligned} y&=1+2^{-p}\\ &=1+\frac1{x-1}=\frac{x}{x-1}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

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