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1975 AMC 12 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

对于所有实数 aa、bb、cc、xx、yy、zz，若它们满足 x<ax\lt a、y<by\lt b、z<cz\lt c，则下列哪些不等式恒成立？

I. xy+yz+zx<ab+bc+caxy+yz+zx\lt ab+bc+ca

II. x2+y2+z2<a2+b2+c2x^2+y^2+z^2\lt a^2+b^2+c^2

III. xyz<abcxyz\lt abc

Which of the following inequalities are satisfied for all real numbers a,a, b,b, c,c, x,x, y,y, zz which satisfy x<a,x\lt a, y<b,y\lt b, and z<c?z\lt c?

I. xy+yz+zx<ab+bc+caxy+yz+zx\lt ab+bc+ca

II. x2+y2+z2<a2+b2+c2x^2+y^2+z^2\lt a^2+b^2+c^2

III. xyz<abcxyz\lt abc

没有一个恒成立。

None are satisfied.

只有 I\mathrm{I}

I\mathrm{I} only

只有 II\mathrm{II}

II\mathrm{II} only

只有 III\mathrm{III}

III\mathrm{III} only

全部恒成立。

All are satisfied.

答案：A
知识点：不等式反例
难度评级：1710
小提示：

变量均为实数，因此一个数增大时，它的平方或与其他数的乘积不一定增大

The variables are real, so increasing a number need not increase its square or its products

大提示：

尝试取 a=b=1, c=−1a=b=1,\ c=-1、x=y=0, z=−10x=y=0,\ z=-10

Try a=b=1, c=−1,a=b=1,\ c=-1, x=y=0, z=−10x=y=0,\ z=-10

解答：

取 a=b=1, c=−1a=b=1,\ c=-1 和 x=y=0, z=−10x=y=0,\ z=-10。题设的三个不等式均满足。但是 I 变为 0<−10\lt-1，II 变为 100<3100\lt3，III 变为 0<−10\lt-1，全都不成立。因此没有一个不等式恒成立。

因此，正确答案是 A。

Take a=b=1, c=−1,a=b=1,\ c=-1, and x=y=0, z=−10.x=y=0,\ z=-10. The required three coordinate inequalities hold. But I becomes 0<−1,0\lt-1, II becomes 100<3,100\lt3, and III becomes 0<−1,0\lt-1, all false. Thus none is universally true.

Therefore, the correct answer is A.

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