Question

多项式 $(1+2x-x^2)^4$ 展开式中 $x^7$ 的系数是

The coefficient of $x^7$ in the polynomial expansion of $(1+2x-x^2)^4$ is

$-8$

$12$

$6$

$-12$

以上皆非

none of these

答案：A

知识点：二项式定理多项式

难度评级：1830

小提示：

要得到次数为 $7$ 的项，四个因子中所选项的次数必须为 $2$ 、 $2$ 、 $2$ 、 $1$

A degree- $7$ term must select degrees $2,$ $2,$ $2,$ $1$ from the four factors

大提示：

选出贡献 $2x$ 的那个因子，其余三个因子都贡献 $-x^2$

Choose which factor contributes $2x$ ; the other three contribute $-x^2$

解答：

四个所选项的总次数为 $7$ 的唯一方式，是选一次 $2x$ 和三次 $-x^2$ 。贡献一次项的因子有 $4$ 种选法，所以系数为 $4(2)(-1)^3=-8\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The only way four selected terms can have total degree $7$ is to choose $2x$ once and $-x^2$ three times. There are $4$ choices for the first factor, so the coefficient is $4(2)(-1)^3=-8.$

Therefore, the correct answer is A.

1974 AMC 12 第 3 题

答案：A

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题