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2004 AMC 12A 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

有多少个正整数有序对 $(x, y)$ 满足 $x + 2y = 100$ ？

For how many ordered pairs of positive integers $(x, y)$ is $x + 2y = 100?$

$33$

$49$

$50$

$99$

$100$

答案：B

知识点：丢番图方程区间内整数计数

难度评级：1080

小提示：

用 $y$ 表示 $x$ 。

Solve for $x$ in terms of $y$

大提示：

$x = 100 - 2y$ 必须为正数，这限制了正整数 $y$ 的最大值。

$x = 100 - 2y$ must be positive, which bounds how large the positive integer $y$ can be

解答：

写成 $x = 100 - 2y$ 。当且仅当 $y$ 是满足 $1 \le y \le 49$ 的正整数时， $x$ 才是正整数。

因此共有 $49$ 个有效有序对。

所以正确答案是 B。

Writing $x = 100 - 2y,$ the value of $x$ is a positive integer precisely when $y$ is a positive integer with $1 \le y \le 49.$

This gives $49$ valid ordered pairs.

Thus, the correct answer is B.

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