Question

一个等边三角形的边长为 $s$ 。该三角形内切一个圆，该圆又内接一个正方形。正方形的面积为：

The side of an equilateral triangle is $s.$ A circle is inscribed in the triangle and a square is inscribed in the circle. The area of the square is:

$\dfrac{s^2}{24}$

$\dfrac{s^2}{6}$

$\dfrac{s^2\sqrt2}{6}$

$\dfrac{s^2\sqrt3}{6}$

$\dfrac{s^2}{3}$

答案：B

知识点：等边三角形内切圆、内心与内切圆半径正方形（几何）面积

难度评级：1430

小提示：

边长为 $s$ 的等边三角形，其内切圆半径为 $\frac{s\sqrt3}{6}$

The inradius of an equilateral triangle of side $s$ is $\frac{s\sqrt3}{6}$

大提示：

正方形的对角线等于圆的直径

The square’s diagonal is the circle’s diameter

解答：

内切圆半径为 $r=\frac{s\sqrt3}{6}$ 。内接正方形的对角线长为 $2r$ ，所以其面积为该对角线平方的一半： $\begin{aligned} \frac{(2r)^2}{2} &=2r^2\\ &=2\left(\frac{s\sqrt3}{6}\right)^2\\ &=\frac{s^2}{6} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

The inradius is $r=\frac{s\sqrt3}{6}.$ The inscribed square has diagonal $2r,$ so its area is half the square of that diagonal: $\begin{aligned} \frac{(2r)^2}{2} &=2r^2\\ &=2\left(\frac{s\sqrt3}{6}\right)^2\\ &=\frac{s^2}{6}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1967 AMC 12 第 3 题

答案：B

难度评级：1430

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题