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1978 AMC 12 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

对于所有满足 x=1yx=\frac{1}{y} 的非零数 xx 和 yy， (x−1x)(y+1y) \left(x-\frac1x\right)\left(y+\frac1y\right) 等于

For all nonzero numbers xx and yy such that x=1y,x=\frac{1}{y}, (x−1x)(y+1y) \left(x-\frac1x\right)\left(y+\frac1y\right) equals

2x22x^2

2y22y^2

x2+y2x^2+y^2

x2−y2x^2-y^2

y2−x2y^2-x^2

答案：D
知识点：换元法平方差
难度评级：1210
小提示：

利用倒数关系替换 1x\frac{1}{x} 和 1y\frac{1}{y}

Use the reciprocal relation to replace 1x\frac{1}{x} and 1y\frac{1}{y}

大提示：

两个因式分别化为 x−yx-y 和 x+yx+y

The two factors become x−yx-y and x+yx+y

解答：

由于 x=1yx=\frac{1}{y}，也有 y=1xy=\frac{1}{x}。因此该乘积为 (x−y)(y+x)=x2−y2。 (x-y)(y+x)=x^2-y^2\text{。}

因此，正确答案是 D。

Since x=1y,x=\frac{1}{y}, we also have y=1x.y=\frac{1}{x}. Thus the product is (x−y)(y+x)=x2−y2. (x-y)(y+x)=x^2-y^2.

Therefore, the correct answer is D.

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