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1953 AMC 12 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

表达式 x2+y2x^2+y^2 的因式为：

The factors of the expression x2+y2x^2+y^2 are:

(x+y)(x−y)(x+y)(x-y)

(x+y)2(x+y)^2

(x23+y23)(x43+y43)(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}})(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})

(x+iy)(x−iy)(x+iy)(x-iy)

以上答案均不正确

none of these

答案：D
知识点：complex numberssum of squares因式分解
难度评级：1340
小提示：

在复数范围内，i2=−1i^2=-1

Over the complex numbers, i2=−1i^2=-1

大提示：

将 y2y^2 改写为 −(iy)2-(iy)^2，再使用平方差公式

Rewrite y2y^2 as −(iy)2-(iy)^2 and use a difference of squares

解答：

因为 i2=−1i^2=-1，所以 (x+iy)(x−iy)=x2−(iy)2=x2+y2。 \begin{aligned} (x+iy)(x-iy)&=x^2-(iy)^2\\ &=x^2+y^2 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Because i2=−1,i^2=-1, (x+iy)(x−iy)=x2−(iy)2=x2+y2. \begin{aligned} (x+iy)(x-iy)&=x^2-(iy)^2\\ &=x^2+y^2. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

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