1964 AMC 12 Problema 39
Intenta el Problema 39 del 1964 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1964 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
39.
Las longitudes de los lados del triángulo son como se muestra, con Se trazan rectas que pasan por el punto interior y por los vértices y que cortan los lados opuestos en respectivamente. Sea Entonces, para toda posición del punto es menor que:
The magnitudes of the sides of triangle are as shown, with Through interior point and the vertices lines are drawn meeting the opposite sides in respectively. Let Then, for all positions of point is less than:
Respuesta: A
Pista pequeña:
Un punto de un segmento está más cerca de un vértice fijo que el extremo más lejano de ese segmento
A point on a segment is closer to a fixed vertex than the farther endpoint of that segment
Pista grande:
Acota , y por separado usando las longitudes de sus lados adyacentes
Bound , , and separately using their adjacent side lengths
Solución:
Para un vértice fijo, la distancia al cuadrado es una función convexa a lo largo del lado opuesto, por lo que su máximo se alcanza en un extremo. Como el extremo de cada ceviana está en el interior de su lado, Al sumar se obtiene
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
For a fixed vertex, squared distance is a convex function along the opposite side, so its maximum occurs at an endpoint. Since each cevian endpoint is interior to its side, Adding gives
Therefore, the correct answer is A.
El Problema 39 en otros años
1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12