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1967 AMC 12 Problema 2

Intenta el Problema 2 del 1967 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1967 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

2.

Una expresión equivalente a

(x2+1x)(y2+1y)+(x2−1y)(y2−1x),xy≠0, \begin{aligned} &\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \left(\frac{y^2+1}{y}\right)\\ &\quad+ \left(\frac{x^2-1}{y}\right) \left(\frac{y^2-1}{x}\right),\\ &\qquad xy\ne0, \end{aligned}

es:

An equivalent of the expression

(x2+1x)(y2+1y)+(x2−1y)(y2−1x),xy≠0, \begin{aligned} &\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \left(\frac{y^2+1}{y}\right)\\ &\quad+ \left(\frac{x^2-1}{y}\right) \left(\frac{y^2-1}{x}\right),\\ &\qquad xy\ne0, \end{aligned}

is:

11

2xy2xy

2x2y2+22x^2y^2+2

2xy+2xy2xy+\dfrac{2}{xy}

2xy+2yx\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x}

Respuesta: D
Conceptos:manipulación algebraicafracción
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:

Desarrolla cada producto en cuatro términos

Expand each product into four terms

Pista grande:

Busca la cancelación de los términos xy\frac{x}{y} y yx\frac{y}{x}

Look for cancellation of the xy\frac{x}{y} and yx\frac{y}{x} terms

Solución:

El primer producto es xy+xy+yx+1xy, xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac1{xy}, mientras que el segundo es xy−xy−yx+1xy. xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac1{xy}. Al sumar se obtiene 2xy+2xy.2xy+\frac{2}{xy}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first product is xy+xy+yx+1xy, xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac1{xy}, while the second is xy−xy−yx+1xy. xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac1{xy}. Adding gives 2xy+2xy.2xy+\frac{2}{xy}.

Therefore, the correct answer is D.

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