Question

¿Bajo qué condiciones es cierto que $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ , donde $a$ y $b$ son números reales?

Under what conditions is $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ true, where $a$ and $b$ are real numbers?

Nunca es cierto.

It is never true.

Es cierto si y solo si $ab = 0$ .

It is true if and only if $ab = 0.$

Es cierto si y solo si $a + b \ge 0$ .

It is true if and only if $a + b \ge 0.$

Es cierto si y solo si $ab = 0$ y $a + b \ge 0$ .

It is true if and only if $ab = 0$ and $a + b \ge 0.$

Siempre es cierto.

It is always true.

Solución:

Como $\sqrt{a^2+b^2}$ nunca es negativo, la igualdad requiere $a + b \ge 0$ . Elevando al cuadrado ambos lados se obtiene $a^2 + b^2 = (a+b)^2$ $= a^2 + 2ab + b^2$ , lo cual se simplifica a $2ab = 0$ , es decir, $ab = 0$ .

Recíprocamente, si $ab = 0$ entonces $a^2 + b^2 = (a+b)^2$ ; y si además $a + b \ge 0$ , entonces $\sqrt{a^2+b^2} = |a+b| = a+b$ . Así que ambas condiciones juntas son exactamente lo necesario.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $\sqrt{a^2+b^2}$ is never negative, equality requires $a + b \ge 0.$ Squaring both sides gives $a^2 + b^2 = (a+b)^2$ $= a^2 + 2ab + b^2,$ which simplifies to $2ab = 0,$ i.e. $ab = 0.$

Conversely, if $ab = 0$ then $a^2 + b^2 = (a+b)^2,$ and if additionally $a + b \ge 0$ then $\sqrt{a^2+b^2} = |a+b| = a+b.$ So both conditions together are exactly what is needed.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años