Question

Los números reales $x,$ $y,$ y $z$ satisfacen las desigualdades

$0 \lt x \lt 1, \quad -1 \lt y \lt 0,$ y $1 \lt z \lt 2.$

¿Cuál de los siguientes números es necesariamente positivo?

Real numbers $x,$ $y,$ and $z$ satisfy the inequalities

$0 \lt x \lt 1, \quad -1 \lt y \lt 0,$ and $1 \lt z \lt 2.$

Which of the following numbers is necessarily positive?

$y + x^2$

$y + xz$

$y + y^2$

$y + 2y^2$

$y + z$

Respuesta: E

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Como $y \gt -1$ y $z \gt 1,$ ¿qué puedes decir sobre $y + z$ ?

Since $y \gt -1$ and $z \gt 1,$ what can you say about $y + z?$

Pista grande:

Para las otras cuatro, prueba $x = \tfrac18,$ $y = -\tfrac14,$ $z = \tfrac32$ para forzar un valor negativo

For the other four, try $x = \tfrac18,$ $y = -\tfrac14,$ $z = \tfrac32$ to force a negative value

Solución:

Al sumar $y \gt -1$ y $z \gt 1$ se obtiene $y + z \gt 0,$ de modo que $y + z$ es siempre positivo. Cada una de las otras cuatro opciones puede hacerse negativa: con $x = \tfrac18,$ $y = -\tfrac14,$ $z = \tfrac32,$ cada uno de $y + x^2,$ $y + xz,$ $y + y^2,$ y $y + 2y^2$ es negativo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding $y \gt -1$ and $z \gt 1$ gives $y + z \gt 0,$ so $y + z$ is always positive. Each of the other four choices can be made negative: with $x = \tfrac18,$ $y = -\tfrac14,$ $z = \tfrac32,$ every one of $y + x^2,$ $y + xz,$ $y + y^2,$ and $y + 2y^2$ is negative.

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12B Problema 2

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años