Question

Sean $P(n)$ y $S(n)$ el producto y la suma, respectivamente, de los dígitos del entero $n.$ Por ejemplo, $P(23) = 6$ y $S(23) = 5.$ Supongamos que $N$ es un número de dos dígitos tal que $N = P(N) + S(N).$ ¿Cuál es el dígito de las unidades de $N$ ?

Let $P(n)$ and $S(n)$ denote the product and the sum, respectively, of the digits of the integer $n.$ For example, $P(23) = 6$ and $S(23) = 5.$ Suppose $N$ is a two-digit number such that $N = P(N) + S(N).$ What is the units digit of $N?$

$2$

$3$

$6$

$8$

$9$

Solución:

Escribe $N = 10a + b.$ Entonces $P(N) = ab$ y $S(N) = a + b,$ así que $10a + b = ab + a + b.$ Esto se reduce a $9a = ab.$ Como $a \neq 0,$ podemos dividir entre $a$ para obtener $b = 9.$

El dígito de las unidades de $N$ es $9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $N = 10a + b.$ Then $P(N) = ab$ and $S(N) = a + b,$ so $10a + b = ab + a + b.$ This reduces to $9a = ab.$ Since $a \neq 0,$ we can divide by $a$ to get $b = 9.$

The units digit of $N$ is $9.$

Thus, the correct answer is E.

2001 AMC 12 Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años