Question

Por un punto $P$ interior al triángulo $ABC$ se traza una recta paralela a la base $\overline{AB},$ que divide el triángulo en dos áreas iguales. Si la altura correspondiente a $\overline{AB}$ mide $1,$ entonces la distancia de $P$ a $\overline{AB}$ es:

Through a point $P$ inside triangle $ABC$ a line is drawn parallel to the base $\overline{AB},$ dividing the triangle into two equal areas. If the altitude to $\overline{AB}$ has length $1,$ then the distance from $P$ to $\overline{AB}$ is:

$\dfrac12$

$\dfrac14$

$2-\sqrt2$

$\dfrac{2-\sqrt2}{2}$

$\dfrac{2+\sqrt2}{8}$

Respuesta: D

Conceptos:semejanza razón de áreas altura

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea $x$ la distancia de $P$ a la base

Let $x$ be the distance from $P$ to the base

Pista grande:

El triángulo pequeño sobre la recta paralela tiene altura $1-x$ y la mitad del área original

The small triangle above the parallel line has altitude $1-x$ and half the original area

Solución:

Sea $x$ la distancia solicitada. El triángulo sobre la recta paralela es semejante al triángulo original, con razón lineal $1-x.$ Su área es la mitad del área original, así que $(1-x)^2=\frac12.$ Como $0\lt x\lt1,$ tenemos $1-x=\frac{1}{\sqrt2},$ y por lo tanto $x=1-\frac1{\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $x$ be the requested distance. The triangle above the parallel line is similar to the original triangle, with linear ratio $1-x.$ Its area is half the original area, so $(1-x)^2=\frac12.$ Since $0\lt x\lt1,$ we have $1-x=\frac{1}{\sqrt2},$ and therefore $x=1-\frac1{\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

1959 AMC 12 Problema 2

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años