Question

对于所有不等于 $1$ 的正数 $x$ ， $\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}+\frac1{\log_5x}$ 等于

For all positive numbers $x$ distinct from $1,$ $\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}+\frac1{\log_5x}$ equals

$\frac1{\log_{60}x}$

$\frac1{\log_x60}$

$\frac1{(\log_3x)(\log_4x)(\log_5x)}$

$\frac{12}{(\log_3x)+(\log_4x)+(\log_5x)}$

$\frac{\log_2x}{(\log_3x)(\log_5x)}$
${}+\frac{\log_3x}{(\log_2x)(\log_5x)}$
${}+\frac{\log_5x}{(\log_2x)(\log_3x)}$

答案：A

知识点：对数代数变形

难度评级：1780

小提示：

利用倒数恒等式 $\frac{1}{\log_bx}=\log_xb$

Use the reciprocal identity $\frac{1}{\log_bx}=\log_xb$

大提示：

利用对数的乘积法则合并所得和式

Combine the resulting sum with the product rule for logarithms

解答：

令 $S$ 表示题给和式。换底并合并对数可得 $\begin{aligned} S&=\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}\\ &\quad+\frac1{\log_5x}\\ &=\log_x(3\cdot4\cdot5)\\ &=\log_x60\\ &=\frac1{\log_{60}x}\text{。} \end{aligned}$

因此，正确答案是 A。

Let $S$ denote the given sum. Changing bases and combining logarithms gives $\begin{aligned} S&=\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}\\ &\quad+\frac1{\log_5x}\\ &=\log_x(3\cdot4\cdot5)\\ &=\log_x60\\ &=\frac1{\log_{60}x}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1978 AMC 12 第 21 题

答案：A

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题