2023 AMC 12A 第 21 题

Question

如果

A

和

B

是一个多面体的顶点，定义距离

d(A,B)

为沿该多面体的棱从

A

连接到

B

所必须经过的最少棱数。例如，如果

\overline{AB}

是该多面体的一条棱，则

d(A,B)=1

；但如果

\overline{AC}

和

\overline{CB}

是棱且

\overline{AB}

不是棱，则

d(A,B)=2

。从一个正二十面体（由

20

个等边三角形组成的正多面体）的顶点中随机选出互不相同的顶点

Q

、

R

和

S

。求

d(Q,R)\gt d(R,S)

的概率。

If

A

and

B

are vertices of a polyhedron, define the distance

d(A,B)

to be the minimum number of edges of the polyhedron one must traverse in order to connect

A

and

B.

For example, if

\overline{AB}

is an edge of the polyhedron, then

d(A,B)=1,

but if

\overline{AC}

and

\overline{CB}

are edges and

\overline{AB}

is not an edge, then

d(A,B)=2.

Let

Q,

R,

and

S

be randomly chosen distinct vertices of a regular icosahedron (regular polyhedron made up of

20

equilateral triangles). What is the probability that

d(Q,R)\gt d(R,S)?

\dfrac{7}{22}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{3}{8}

\dfrac{5}{12}

\dfrac{1}{2}

答案：A

知识点：图论基本概率对称性

难度评级：2170

小提示：

固定

R

。其他

11

个顶点中，有

5

个距离为

1

，

5

个距离为

2

，

1

个距离为

3

。

Fix

R.

The other

11

vertices split into

5

at distance

1,

5

at distance

2,

and

1

at distance

3

大提示：

由对称性，严格大于的概率是不相等概率的一半：

P(d(Q,R)\gt d(R,S))

=\dfrac{1-P(\text{相等})}{2}

。

By symmetry

P(d(Q,R)\gt d(R,S))

=\dfrac{1-P(\text{equal})}{2}

解答：

固定

R

。正二十面体的其他

11

个顶点中，有

5

个到该点的距离为

1

，

5

个距离为

2

，还有

1

个（对顶点）距离为

3

。

有序选取互不相同的

Q,S

时，

d(Q,R)=d(R,S)

的概率为

\dfrac{5\cdot 4+5\cdot 4}{11\cdot 10}=\dfrac{40}{110}=\dfrac{4}{11}\text{。}

由

Q

和

S

的对称性，

\begin{gathered} P(d(Q,R)\gt d(R,S))\\ {}=\dfrac{1-\tfrac{4}{11}}{2}\\ {}=\dfrac{7}{22} \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 A。

Fix

R.

Among the other

11

vertices of the icosahedron,

5

are at distance

1,

5

are at distance

2,

and

1

(the antipode) is at distance

3.

Choosing ordered distinct

Q,S,

the probability that

d(Q,R)=d(R,S)

is

\dfrac{5\cdot 4+5\cdot 4}{11\cdot 10}=\dfrac{40}{110}=\dfrac{4}{11}.

By the symmetry between

Q

and

S,

\begin{gathered} P(d(Q,R)\gt d(R,S))\\ {}=\dfrac{1-\tfrac{4}{11}}{2}\\ {}=\dfrac{7}{22}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12A 第 21 题

答案：A

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

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