Question

如果 $A$ 和 $B$ 是一个多面体的顶点，定义距离 $d(A,B)$ 为沿该多面体的棱从 $A$ 连接到 $B$ 所必须经过的最少棱数。例如，如果 $\overline{AB}$ 是该多面体的一条棱，则 $d(A,B)=1$ ；但如果 $\overline{AC}$ 和 $\overline{CB}$ 是棱且 $\overline{AB}$ 不是棱，则 $d(A,B)=2$ 。从一个正二十面体（由 $20$ 个等边三角形组成的正多面体）的顶点中随机选出互不相同的顶点 $Q$ 、 $R$ 和 $S$ 。求 $d(Q,R)\gt d(R,S)$ 的概率。

If $A$ and $B$ are vertices of a polyhedron, define the distance $d(A,B)$ to be the minimum number of edges of the polyhedron one must traverse in order to connect $A$ and $B.$ For example, if $\overline{AB}$ is an edge of the polyhedron, then $d(A,B)=1,$ but if $\overline{AC}$ and $\overline{CB}$ are edges and $\overline{AB}$ is not an edge, then $d(A,B)=2.$ Let $Q,$ $R,$ and $S$ be randomly chosen distinct vertices of a regular icosahedron (regular polyhedron made up of $20$ equilateral triangles). What is the probability that $d(Q,R)\gt d(R,S)?$

$\dfrac{7}{22}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{1}{2}$

答案：A

知识点：图论基本概率对称性

难度评级：2170

解答：

固定 $R$ 。正二十面体的其他 $11$ 个顶点中，有 $5$ 个到该点的距离为 $1$ ， $5$ 个距离为 $2$ ，还有 $1$ 个（对顶点）距离为 $3$ 。

有序选取互不相同的 $Q,S$ 时， $d(Q,R)=d(R,S)$ 的概率为 $\dfrac{5\cdot 4+5\cdot 4}{11\cdot 10}=\dfrac{40}{110}=\dfrac{4}{11}.$

由 $Q$ 和 $S$ 的对称性， $\begin{gathered} P(d(Q,R)\gt d(R,S))\\ {}=\dfrac{1-\tfrac{4}{11}}{2}\\ {}=\dfrac{7}{22}. \end{gathered}$

所以正确答案是 A。

Fix $R.$ Among the other $11$ vertices of the icosahedron, $5$ are at distance $1,$ $5$ are at distance $2,$ and $1$ (the antipode) is at distance $3.$

Choosing ordered distinct $Q,S,$ the probability that $d(Q,R)=d(R,S)$ is $\dfrac{5\cdot 4+5\cdot 4}{11\cdot 10}=\dfrac{40}{110}=\dfrac{4}{11}.$

By the symmetry between $Q$ and $S,$ $\begin{gathered} P(d(Q,R)\gt d(R,S))\\ {}=\dfrac{1-\tfrac{4}{11}}{2}\\ {}=\dfrac{7}{22}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12A 第 21 题

答案：A

难度评级：2170

解答：

其他年份的第 21 题