2019 AMC 12A 第 21 题

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21.

设

z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}\text{。}

求

\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)\text{？} \end{aligned}

Let

z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}.

What is

\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)? \end{aligned}

18

72 - 36\sqrt{2}

36

72

72 + 36\sqrt{2}

答案：C

知识点：单位根复数模运算

难度评级：2160

小提示：

z = e^{\frac{i\pi}{4}}

，所以

z^{k^2}

只取决于

k^2 \bmod 8

。

z = e^{\frac{i\pi}{4}},

so

z^{k^2}

depends only on

k^2 \bmod 8

大提示：

当

k = 1, \ldots, 12

时，指数

k^2 \bmod 8

中

1

出现六次，

4

出现三次，

0

出现三次

Over

k = 1, \ldots, 12,

the exponent

k^2 \bmod 8

is

1

six times,

4

three times, and

0

three times

解答：

因为

z = e^{\frac{i\pi}{4}}

，所以

z^{k^2} = e^{\frac{i\pi k^2}{4}}

，只取决于

k^2 \bmod 8

。

对

k = 1

到

12

，余数

k^2 \bmod 8

为

1

（给出

z

）出现六次，为

4

（给出

-1

）出现三次，为

0

（给出

1

）出现三次。所以第一个和为

6z - 3 + 3 = 6z

。

第二个和同理为

\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}

。两者乘积为

6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36

。

所以正确答案是 C。

Since

z = e^{\frac{i\pi}{4}},

we have

z^{k^2} = e^{\frac{i\pi k^2}{4}},

depending only on

k^2 \bmod 8.

For

k = 1

to

12,

the residue

k^2 \bmod 8

is

1

(giving

z

) six times,

4

(giving

-1

) three times, and

0

(giving

1

) three times. So the first sum is

6z - 3 + 3 = 6z.

The second sum is likewise

\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}.

Their product is

6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36.

Thus, the correct answer is C.

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