Question

在 $\triangle ABC$ 中，边长为 $AB=13$ 、 $AC=12$ 和 $BC=5$ ，令 $O$ 与 $I$ 分别表示外心和内心。一个圆心为 $M$ 的圆与直角边 $AC$ 和 $BC$ 以及 $\triangle ABC$ 的外接圆相切。 $\triangle MOI$ 的面积是多少？

In $\triangle ABC$ with side lengths $AB=13,$ $AC=12,$ and $BC=5,$ let $O$ and $I$ denote the circumcenter and incenter, respectively. A circle with center $M$ is tangent to the legs $AC$ and $BC$ and to the circumcircle of $\triangle ABC.$ What is the area of $\triangle MOI?$

$\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{11}{4}$

$3$

$\dfrac{13}{4}$

$\dfrac{7}{2}$

答案：E

知识点：坐标几何外接圆、外心与外接圆半径内切圆、内心与内切圆半径相切圆

难度评级：2360

解答：

因为 $5^2+12^2=13^2$ ，三角形在 $C$ 处为直角。设 $C=(0,0)$ 、 $A=(12,0)$ 且 $B=(0,5)$ 。则 $O$ 是 $\overline{AB}$ 的中点，即 $O=\left(6,\tfrac52\right)$ ，外接圆半径为 $\tfrac{13}{2}$ 。内切圆半径为 $\tfrac{\text{area}}{s}=\tfrac{30}{15}=2$ ，所以 $I=(2,2)$ 。

因为以 $M$ 为圆心的圆与两条直角边都相切，所以 $M=(\rho,\rho)$ 与外接圆内切给出 $MO=\tfrac{13}{2}-\rho$ 令它等于 $\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2}$ 并求解，得到 $\rho=4$ 所以 $M=(4,4)$ 。

对 $M=(4,4)$ $O=\left(6,\tfrac52\right)$ 和 $I=(2,2)$ 用鞋带公式，面积为 $\tfrac72$ 。

所以正确答案是 E。

Since $5^2+12^2=13^2,$ the triangle is right-angled at $C.$ Set $C=(0,0),$ $A=(12,0),$ and $B=(0,5).$ Then $O$ is the midpoint of $\overline{AB},$ namely $O=\left(6,\tfrac52\right),$ with circumradius $\tfrac{13}{2}.$ The inradius is $\tfrac{\text{area}}{s}=\tfrac{30}{15}=2,$ so $I=(2,2).$

Because $M$ 's circle is tangent to both legs, $M=(\rho,\rho).$ Internal tangency to the circumcircle gives $MO=\tfrac{13}{2}-\rho.$ Setting this equal to $\sqrt{(\rho-6)^2+\left(\rho-\tfrac52\right)^2}$ and solving gives $\rho=4,$ so $M=(4,4).$

The shoelace formula on $M=(4,4),$ $O=\left(6,\tfrac52\right),$ $I=(2,2)$ gives area $\tfrac72.$

Thus, the correct answer is E.

2018 AMC 12B 第 21 题

答案：E

难度评级：2360

解答：

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