Question

对每个实数 $x$ ，令 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，并定义所有满足 $1\le x\lt2014$ 且 $f(x)\le1$ 的 $x$ 组成若干互不相交区间的并。这些区间长度之和是多少？ $f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right).$

For every real number $x,$ let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer not exceeding $x,$ and let $f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right).$ The set of all numbers $x$ such that $1\le x\lt2014$ and $f(x)\le1$ is a union of disjoint intervals. What is the sum of the lengths of those intervals?

$1$

$\dfrac{\log2015}{\log2014}$

$\dfrac{\log2014}{\log2013}$

$\dfrac{2014}{2013}$

$2014^{1/2014}$

答案：A

知识点：取整函数对数裂项相消

难度评级：2170

解答：

写 $x=n+r$ ，其中 $n$ 为整数且 $1\le n\le2013$ ， $0\le r\lt1$ 。于是 $f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right)$ ，而 $f(x)\le1$ 等价于 $2014^{\,r}\le1+\dfrac1n$ ，也就是 $0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}$ 。

因此每个 $n$ 对应的长度为 $\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}$ ， $\begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}$

因此区间长度之和为上述结果。所以正确答案是 A。

Write $x=n+r$ with integer $n$ ( $1\le n\le2013$ ) and $0\le r\lt1.$ Then $f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right),$ and $f(x)\le1$ becomes $2014^{\,r}\le1+\dfrac1n,$ i.e. $0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}.$

Each $n$ contributes an interval of length $\log_{2014}\dfrac{n+1}{n},$ so the total is $\begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

2014 AMC 12A 第 21 题

答案：A

难度评级：2170

解答：

其他年份的第 21 题