2014 AMC 12A 第 21 题

Question

对每个实数

x

，令

\lfloor x\rfloor

表示不超过

x

的最大整数，并定义

f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right)\text{。}

所有满足

1\le x\lt2014

且

f(x)\le1

的

x

组成若干互不相交区间的并。这些区间长度之和是多少？

For every real number

x,

let

\lfloor x\rfloor

denote the greatest integer not exceeding

x,

and let

f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right).

The set of all numbers

x

such that

1\le x\lt2014

and

f(x)\le1

is a union of disjoint intervals. What is the sum of the lengths of those intervals?

1

\dfrac{\log2015}{\log2014}

\dfrac{\log2014}{\log2013}

\dfrac{2014}{2013}

2014^{\frac{1}{2014}}

答案：A

知识点：取整函数对数裂项相消

难度评级：2170

小提示：

写

x=n+r

，其中

n=\lfloor x\rfloor

，

0\le r\lt1

，于是

f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right)

。

Write

x=n+r

with

n=\lfloor x\rfloor

and

0\le r\lt1,

so

f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right)

大提示：

条件

f(x)\le1

给出

0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}

；把这些长度相加并裂项化简。

The condition

f(x)\le1

gives

0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}

; sum these lengths and telescope

解答：

写

x=n+r

，其中

n

为整数且

1\le n\le2013

，

0\le r\lt1

。于是

f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right)

，而

f(x)\le1

等价于

2014^{\,r}\le1+\dfrac1n

，也就是

0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}

。

因此每个

n

对应的区间长度为

\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}

，所以总长度为

\begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 A。

Write

x=n+r

with integer

n

(

1\le n\le2013

) and

0\le r\lt1.

Then

f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right),

and

f(x)\le1

becomes

2014^{\,r}\le1+\dfrac1n,

i.e.

0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}.

Each

n

contributes an interval of length

\log_{2014}\dfrac{n+1}{n},

so the total is

\begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}

Thus, the correct answer is A.

2014 AMC 12A 第 21 题

答案：A

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

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