2013 AMC 12A 第 21 题

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21.

考虑

\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))) \end{gathered}\text{。}

以下哪个区间包含

A

？

Consider

\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))). \end{gathered}

Which of the following intervals contains

A?

(\log 2016, \log 2017)

(\log 2017, \log 2018)

(\log 2018, \log 2019)

(\log 2019, \log 2020)

(\log 2020, \log 2021)

答案：A

知识点：对数极限情形界定数学归纳法

难度评级：2210

小提示：

跟踪嵌套值所在范围：较小

n

时有

0 \lt A_n \lt 1

，之后有

1 \lt A_n \lt 2

，等等

Track where the nested value sits:

0 \lt A_n \lt 1

for small

n,

then

1 \lt A_n \lt 2,

etc.

大提示：

当

n = 2012

时，该值满足

3 \lt A_{2012} \lt 4

，再估计

2013 + A_{2012}

。

For

n = 2012

the value satisfies

3 \lt A_{2012} \lt 4,

so estimate

2013 + A_{2012}

解答：

设

\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots))

。可以检查

2 \le n \le 9

时

0 \lt A_n \lt 1

，

10 \le n \le 98

时

1 \lt A_n \lt 2

，

99 \le n \le 997

时

2 \lt A_n \lt 3

，且

998 \le n \le 9996

时

3 \lt A_n \lt 4

。

因此

3 \lt A_{2012} \lt 4

，所以

2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017

，从而

\log 2016 \lt A \lt \log 2017

。

因此，正确答案是 A。

Let

\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)).

One checks

0 \lt A_n \lt 1

for

2 \le n \le 9,

then

1 \lt A_n \lt 2

for

10 \le n \le 98,

then

2 \lt A_n \lt 3

for

99 \le n \le 997,

and

3 \lt A_n \lt 4

for

998 \le n \le 9996.

Hence

3 \lt A_{2012} \lt 4,

so

2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017

and therefore

\log 2016 \lt A \lt \log 2017.

Thus, the correct answer is A.

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