2006 AMC 12B 第 21 题

Question

矩形

ABCD

的面积为

2006

。一个面积为

2006\pi

的椭圆经过

A

和

C

，焦点在

B

和

D

。这个矩形的周长是多少？（椭圆面积为

\pi ab

，其中

2a

和

2b

是两条轴的长度。）

Rectangle

ABCD

has area

2006.

An ellipse with area

2006\pi

passes through

A

and

C

and has foci at

B

and

D.

What is the perimeter of the rectangle? (The area of an ellipse is

\pi ab,

where

2a

and

2b

are the lengths of its axes.)

\dfrac{16\sqrt{2006}}{\pi}

\dfrac{1003}{4}

8\sqrt{1003}

6\sqrt{2006}

\dfrac{32\sqrt{1003}}{\pi}

答案：C

知识点：椭圆代数变形

难度评级：2150

小提示：

对该椭圆，从

A

到两个焦点

B, D

的距离和等于矩形的两条邻边之和。

For the ellipse, the sum of distances from

A

to the foci

B, D

equals a rectangle diagonal plus a side

大提示：

设边长为

x, y

，则

x + y = 2a

，且对角线

\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}

。

Let the sides be

x, y;

then

x + y = 2a

and the diagonal

\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}

解答：

设矩形边长为

x

和

y

。点

A

在以

B

和

D

为焦点的椭圆上，所以

x + y = AB + AD = 2a

。两个焦点之间的距离是矩形对角线，所以

\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}

。

因此

2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)

= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2)

= 4b^2

，所以

xy = 2b^2

。由矩形面积可得

2b^2 = 2006

，从而

b^2 = 1003

。

椭圆面积给出

\pi ab = 2006\pi

，所以

ab = 2006

，且

a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}

。

矩形周长为

2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}

。

因此，正确答案是 C。

Let the rectangle’s sides be

x

and

y.

Point

A

is on the ellipse with foci

B

and

D,

so

x + y = AB + AD = 2a.

The distance between the foci is the diagonal, so

\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}.

Then

2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)

= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2)

= 4b^2,

so

xy = 2b^2.

The area gives

2b^2 = 2006,

hence

b^2 = 1003.

The ellipse area gives

\pi ab = 2006\pi,

so

ab = 2006

and

a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}.

The perimeter is

2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}.

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B 第 21 题

答案：C

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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