Question

矩形 $ABCD$ 的面积为 $2006$ 。一个面积为 $2006\pi$ 的椭圆经过 $A$ 和 $C$ ，焦点在 $B$ 和 $D$ 。这个矩形的周长是多少？（椭圆面积为 $\pi ab$ ，其中 $2a$ 和 $2b$ 是两条轴的长度。）

Rectangle $ABCD$ has area $2006.$ An ellipse with area $2006\pi$ passes through $A$ and $C$ and has foci at $B$ and $D.$ What is the perimeter of the rectangle? (The area of an ellipse is $\pi ab,$ where $2a$ and $2b$ are the lengths of its axes.)

$\dfrac{16\sqrt{2006}}{\pi}$

$\dfrac{1003}{4}$

$8\sqrt{1003}$

$6\sqrt{2006}$

$\dfrac{32\sqrt{1003}}{\pi}$

答案：C

知识点：椭圆代数变形

难度评级：2150

解答：

设矩形边长为 $x$ 和 $y$ 。点 $A$ 在以 $B$ 和 $D$ 为焦点的椭圆上，所以 $x + y = AB + AD = 2a$ 。两个焦点之间的距离是矩形对角线，所以 $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}$ 。

因此 $2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)$ $= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2)$ $= 4b^2$ ，所以 $xy = 2b^2$ 。由矩形面积可得 $2b^2 = 2006$ ，从而 $b^2 = 1003$ 。

椭圆面积给出 $\pi ab = 2006\pi$ ，所以 $ab = 2006$ ，且 $a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}$ 。

矩形周长为 $2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the rectangle's sides be $x$ and $y.$ Point $A$ is on the ellipse with foci $B$ and $D,$ so $x + y = AB + AD = 2a.$ The distance between the foci is the diagonal, so $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}.$

Then $2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)$ $= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2)$ $= 4b^2,$ so $xy = 2b^2.$ The area gives $2b^2 = 2006,$ hence $b^2 = 1003.$

The ellipse area gives $\pi ab = 2006\pi,$ so $ab = 2006$ and $a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}.$

The perimeter is $2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B 第 21 题

答案：C

难度评级：2150

解答：

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